1.1.1. Soit $(V_{i})_{i\in I}$ un système inductif filtrant de $\mathfrak{C}$. Posons $V:=\mathop{\varinjlim }\nolimits_{i}\,V_{i}$ la limite inductive calculée dans $\mathfrak{C}$. En tant que $K$-espace vectoriel, $V$ est la limite inductive de $(V_{i})_{i\in I}$ calculée dans la catégorie des $K$-espaces vectoriels. La topologie localement convexe sur $V$ est la plus fine rendant continu tous les morphismes canoniques $V_{i}\rightarrow V$.

Remarque 1.1.2. Soit $(V_{i})_{i\in I}$ et $(W_{i})_{i\in I}$ deux systèmes inductifs filtrants de $\mathfrak{C}$, $f_{i}:V_{i}\rightarrow W_{i}$ une famille compatible de morphismes de $\mathfrak{C}$ et $f:\mathop{\varinjlim }\nolimits_{i}\,V_{i}\rightarrow \mathop{\varinjlim }\nolimits_{i}\,W_{i}$ le morphisme de $\mathfrak{C}$ induit par passage à la limite inductive. Si pour tout $i$ l’image de $f_{i}$ est dense dans $W_{i}$, alors l’image de $f$ est dense.

En effet, si $F$ est un fermé de $\mathop{\varinjlim }\nolimits_{i}\,W_{i}$ contenant l’image de $f$, alors l’image inverse de $F$ sur $W_{i}$ est un fermé contenant l’image de $f_{i}$ qui est dense dans $W_{i}$. La flèche canonique $W_{i}\rightarrow \mathop{\varinjlim }\nolimits_{i}\,W_{i}$ se factorise donc toujours via $W_{i}\rightarrow F$. D’où $F=\mathop{\varinjlim }\nolimits_{i}\,W_{i}$.

Démonstration.

La surjectivité de $f$ est déjà connue. Posons $W:=\mathop{\varinjlim }\nolimits_{i}\,W_{i}$. Comme le morphisme $f$ est continu et surjectif, la propriété énonant que $f$ est strict est alors équivalente à la propriété suivante : tout morphisme $g:W\rightarrow W\text{sp}\prime$ tel que $g\circ f$ soit continu est lui-même continu. Soit $g:W\rightarrow W\text{sp}\prime$ tel que $g\circ f$ soit continu. Notons $g_{i}:W_{i}\rightarrow W\text{sp}\prime$ le composé du morphisme canonique $W_{i}\rightarrow W$ avec $g$. Comme $f_{i}$ est surjectif et strict, et comme $g_{i}\circ f_{i}:V_{i}\rightarrow W\text{sp}\prime$ est continu (car composé de $V_{i}\rightarrow V$ avec $g\circ f$), les morphismes $g_{i}$ sont alors continus. D’après la propriété universelle de la limite inductive, $g$ est donc aussi continu.

Démonstration.

Standard.

Remarque 1.1.6. Dans la définition de $K$-espace de type $LB$ de 1.1.5 et avec ses notations, il n’est pas restrictif de supposer que les morphismes $V_{m}\rightarrow V_{m+1}$ soient injectifs. En effet, si l’on note $j_{m}:V_{m}\rightarrow V$, $W_{m}:=V_{m}/\ker j_{m}$ muni de la topologie quotient, topologie qui en fait un $K$-espace de Banach (car $V$ est séparé donc $W_{m}$ est un quotient séparé d’un $K$-espace de Banach), on vérifie par propriété universelle que les morphismes $K$-linéaires canoniques réciproques $\mathop{\varinjlim }\nolimits_{m}V_{m}\rightarrow \mathop{\varinjlim }\nolimits_{m}W_{m}$ et $\mathop{\varinjlim }\nolimits_{m}W_{m}\rightarrow \mathop{\varinjlim }\nolimits_{m}V_{m}$ sont continus.

Démonstration.

Pour tout entier $m\in \mathbb{N}$, donnons-nous des monomorphismes continus de $K$-espaces de Banach $V_{m}\rightarrow V_{m+1}$. On note $V:=\mathop{\varinjlim }\nolimits_{m}\,V_{m}$ et $i_{m}:V_{m}{\hookrightarrow}V$ les monomorphismes continus canoniques. Soit $G:=V/W$ un quotient de $V$ qui est séparé. Notons $G^{(m)}:=V_{m}/i_{m}^{-1}(W)$ muni de la topologie quotient, i.e. telle que la surjection canonique $\unicode[STIX]{x1D70B}_{m}:V_{m}{\twoheadrightarrow}G^{(m)}$ soit stricte. Notons $j_{m}:G^{(m)}\rightarrow G$ l’injection canonique. Comme $j_{m}\circ \unicode[STIX]{x1D70B}_{m}$ est continu et comme $\unicode[STIX]{x1D70B}_{m}$ est strict, $j_{m}$ est donc continu. Comme $G$ est séparé, il en est alors de même de $G^{(m)}$. Ainsi $G^{(m)}$ est un $K$-espace de Banach. Il découle de 1.1.3 que le morphisme de gauche du diagramme canonique

(1)

est un épimorphisme strict. Comme il en est de même du morphisme de droite et comme l’isomorphisme du bas est un homéomorphisme, il en est donc de même de l’isomorphisme du haut.

1.2.1. (Application $D$-balancée continue et complétion.) Soit $V$ un objet de $\mathfrak{C}_{D,d}$, $W$ un objet de $\mathfrak{C}_{D,g}$ et $U$ un objet de $\mathfrak{C}$. On munit $V\times W$ de la topologie produit, i.e. $V\times W$ est le produit calculé dans $\mathfrak{C}$. Soit $\unicode[STIX]{x1D6FD}:V\times W\rightarrow U$ une application $D$-balancée, i.e. une application $K$-bilinéaire telle que pour tout $v\in V$, tout $w\in W$ et tout $d\in D$, on ait $\unicode[STIX]{x1D6FD}(vd,w)=\unicode[STIX]{x1D6FD}(v,dw)$. Par $K$-bilinéarité de $\unicode[STIX]{x1D6FD}$, si $L$ est un sous-${\mathcal{V}}$-module (resp. un réseau de $U$ au sens de [Reference SchneiderSch02, 2.1]) de $U$, alors $\unicode[STIX]{x1D6FD}^{-1}(L)$ est un sous-${\mathcal{V}}$-module (resp. un réseau) de $V\times W$. De plus, d’après [Reference SchneiderSch02, 17.1], comme $\unicode[STIX]{x1D6FD}$ est $K$-bilinéaire, l’application $\unicode[STIX]{x1D6FD}$ est continue si et seulement si elle l’est en zéro, i.e. pour tout sous-${\mathcal{V}}$-module ouvert de $L$ de $U$, il existe des sous-${\mathcal{V}}$-modules ouverts respectivement $M$ de $V$ et $N$ de $W$ tels que $\unicode[STIX]{x1D6FD}(M\times N)\subset L$.

Supposons $\unicode[STIX]{x1D6FD}$ continue. On dispose alors du morphisme $K$-bilinéaire $\underset{M,N}{\varprojlim }\,V\times W/M\times N\rightarrow \underset{L}{\varprojlim }\,V/L$, où $L$ (resp. $M$, resp. $N$) parcourt les réseaux ouverts de $U$ (resp. $V$, resp. $W$). On note $\widehat{\unicode[STIX]{x1D6FD}}:\widehat{V}\times \widehat{W}\rightarrow \widehat{U}$ cette application. Comme les réseaux ouverts de $\widehat{U}$ sont de la forme $\underset{L}{\varprojlim }\,L_{0}/L$ où $L_{0}$ est un réseau ouvert de $U$ et $L$ parcourt les réseaux ouverts de $U$ inclus dans $L_{0}$ (et de même pour $\widehat{V}\times \widehat{W}$), on vérifie alors que $\widehat{\unicode[STIX]{x1D6FD}}$ est continue. Comme l’image de $V\times W$ dans $\widehat{V}\times \widehat{W}$ est dense, on vérifie que $\widehat{\unicode[STIX]{x1D6FD}}$ est l’unique application $K$-bilinéaire continue induisant le carré commutatif :

(2)

En revanche, pour que $\widehat{\unicode[STIX]{x1D6FD}}$ soit $D$-balancée, il faut des hypothèses topologiques sur $D$ (voir 1.3.4).

1.2.2. Soit $V$ un objet de $\mathfrak{C}_{D,d}$ et $W$ un objet de $\mathfrak{C}_{D,g}$. En munissant $V\times W$ de la topologie produit, la topologie projective sur le produit tensoriel $V\otimes _{D}W$ est la topologie $K$-localement convexe la plus fine telle que le morphisme $K$-bilinéaire canonique $\unicode[STIX]{x1D70C}_{V,W}:V\times W\rightarrow V\otimes _{D}W$ soit continu. Ainsi, un réseau $L\subset V\otimes _{D}W$ est ouvert si et seulement si $\unicode[STIX]{x1D70C}_{V,W}^{-1}(L)$ est ouvert. Comme nous ne considérerons que des topologies de type projectif sur les produits tensoriels, nous pourrons omettre d’indiquer le qualificatif « projectif ».

L’objet $V\otimes _{D}W$ vérifie la propriété universelle : pour toute application $D$-balancée et continue de la forme $\unicode[STIX]{x1D719}:V\times W\rightarrow U$, il existe un unique morphisme dans $\mathfrak{C}$ de la forme $\unicode[STIX]{x1D703}:V\otimes _{D}W\rightarrow U$ tel que $\unicode[STIX]{x1D703}\circ \unicode[STIX]{x1D70C}_{V,W}=\unicode[STIX]{x1D719}$.

On en déduit que l’on obtient en réalité le bifoncteur canonique

$$\begin{eqnarray}-\!\otimes _{D}-:\mathfrak{C}_{D,d}\times \mathfrak{C}_{D,g}\rightarrow \mathfrak{C}.\end{eqnarray}$$

Démonstration.

Comme $V_{0}$ et $W_{0}$ sont des réseaux respectifs de $V$ et $W$, $U_{0}$ est un réseau de $U$. Pour tout entier $n\in \mathbb{N}$, comme $\unicode[STIX]{x1D70C}_{V,W}^{-1}(p^{n}U_{0})\supset p^{n}(V_{0}\times W_{0})$, les $p^{n}U_{0}$ sont donc des ouverts de $V\otimes _{D}W$. Réciproquement, soit $L$ un sous-${\mathcal{V}}$-module ouvert de $V\otimes _{D}W$. Il existe alors un entier $n$ assez grand tel que $\unicode[STIX]{x1D70C}_{V,W}^{-1}(L)\supset p^{n}(V_{0}\times W_{0})$. Comme $L$ est un ${\mathcal{V}}$-module, on a alors $L\supset <\unicode[STIX]{x1D70C}_{V,W}(p^{n}(V_{0}\times W_{0}))>=p^{2n}<\unicode[STIX]{x1D70C}_{V,W}(V_{0}\times W_{0})>=p^{2n}U_{0}$.

1.2.4. Soit $D\text{sp}\prime \rightarrow D$ un homomorphisme de $K$-algèbres tel que $K$ soit aussi dans le centre de $D\text{sp}\prime$. Soit $V$ un objet de $\mathfrak{C}_{D,d}$ et $W$ un objet de $\mathfrak{C}_{D,g}$. Comme le composé $V\times W\rightarrow V\otimes _{D\text{sp}\prime }W\rightarrow V\otimes _{D}W$ est le morphisme canonique, par définition des topologies définies sur $V\otimes _{D\text{sp}\prime }W$ et $V\otimes _{D}W$, l’épimorphisme $V\otimes _{D\text{sp}\prime }W\rightarrow V\otimes _{D}W$ est donc strict.

Démonstration.

Par symétrie, vérifions-le seulement pour le premier. Soit $L$ un réseau de $V\otimes _{D}W\text{sp}\prime \prime$. Comme $V\times W\rightarrow V\times W\text{sp}\prime \prime$ est strict, par définition de la topologie sur $V\otimes _{D}W\text{sp}\prime \prime$, $L$ est ouvert si est seulement si son image inverse sur $V\times W$ est un ouvert. Par définition de la topologie sur $V\otimes _{D}W$, cela équivaut au fait que son image inverse sur $V\otimes _{D}W$ soit un ouvert. D’où le résultat.

Démonstration.

Notons $g_{i}:V_{i}\times W_{i}\rightarrow \mathop{\varinjlim }\nolimits_{i}V_{i}\times W_{i}$ les applications $D$-balancées continues canoniques. Soit $L$ un réseau ouvert de $U$. Le lemme découle alors de l’égalité $\unicode[STIX]{x1D6FD}^{-1}(L)=\sum _{i\in I}g_{i}(\unicode[STIX]{x1D6FD}_{i}^{-1}(L)).$

Démonstration.

Notons $V:=\mathop{\varinjlim }\nolimits_{i}\,V_{i}$ et $f_{i}:V_{i}\rightarrow V$ les morphismes canoniques. Traitons d’abord la première assertion. Par définition de la topologie sur la limite inductive, la bijection canonique $\mathop{\varinjlim }\nolimits_{i}\,(V_{i}\times W)\rightarrow V\times W$ est continue. Soit $(L_{i})_{i\in I}$ une famille de réseaux ouverts de $(V_{i})_{i\in I}$ et $(M_{i})_{i\in I}$ une famille de réseaux ouverts de $W$. Il s’agit de vérifier que $\sum _{i\in I}f_{i}(L_{i})\times M_{i}$ est un ouvert de $V\times W$. Cela résulte immédiatement de l’inclusion $\sum _{i\in I}f_{i}(L_{i})\times M_{i}\supset (\sum _{i\in I}f_{i}(L_{i}))\times M_{i_{0}}$ valable quel que que soit $i_{0}\in I$ (en effet, on utilise la relation $(x,y)=(x,0)+(0,y)$ pour $x\in \sum _{i\in I}f_{i}(L_{i})$ et $y\in M_{i_{0}}$).

Vérifions à présent la seconde assertion, i.e. le $K$-espace localement convexe $V\otimes _{D}W$ vérifie la propriété universelle de la limite inductive dans $\mathfrak{C}$ du système $(V_{i}\otimes _{D}W)_{i\in I}$ : si l’on se donne une famille compatible de morphismes de $\mathfrak{C}$ de la forme $V_{i}\otimes _{D}W\rightarrow U$, alors ils se factorisent de manière unique en un morphisme $K$-linéaire de la forme $V\otimes _{D}W\rightarrow U$. Pour vérifier que celui-là est continu, il faut et il suffit que le composé $V\times W\rightarrow V\otimes _{D}W\rightarrow U$ le soit. Or, comme toutes les applications $D$-balancées $V_{i}\times W\rightarrow U$ sont continues, d’après 1.2.6, il en est de même de l’application $D$-balancée $\mathop{\varinjlim }\nolimits_{i}\,(V_{i}\times W)\rightarrow U$. On déduit alors de la première assertion du lemme que le morphisme canonique $V\times W\rightarrow U$ est continu. D’où le résultat.

1.3.1. Avec les notations de 1.2, soit $V$ un objet de $\mathfrak{C}_{D,d}$ et $W$ un objet de $\mathfrak{C}_{D,g}$. On note $V\widehat{\otimes }_{D}W$ le séparé complété de $V\otimes _{D}W$ et $i_{V,W}:V\otimes _{D}W\rightarrow V\widehat{\otimes }_{D}W$ le morphisme canonique. Il résulte de la propriété universelle du produit tensoriel et de celle du séparé complété la propriété universelle suivante : pour toute application $D$-balancée et continue de la forme $\unicode[STIX]{x1D719}:V\times W\rightarrow U$ avec $U\in \mathfrak{D}$, il existe alors un unique morphisme dans $\mathfrak{D}$ de la forme $\unicode[STIX]{x1D703}:V\widehat{\otimes }_{D}W\rightarrow U$ tel que $\unicode[STIX]{x1D703}\circ i_{V,W}\circ \unicode[STIX]{x1D70C}_{V,W}=\unicode[STIX]{x1D719}$.

On obtient ainsi le bifoncteur canonique

$$\begin{eqnarray}-\widehat{\otimes }_{D}-:\mathfrak{C}_{D,d}\times \mathfrak{C}_{D,g}\rightarrow \mathfrak{D}.\end{eqnarray}$$

Démonstration.

Contentons-nous de prouver le cas non respectif. D’après 2, l’application $K$-bilinéaire continue structurale canonique $\unicode[STIX]{x1D707}_{D}:D\times D\rightarrow D$ induit l’application $K$-bilinéaire continue $\unicode[STIX]{x1D707}_{\widehat{D}}:=\widehat{\unicode[STIX]{x1D707}_{D}}:\widehat{D}\times \widehat{D}\rightarrow \widehat{D}$ s’inscrivant (de manière unique) dans le diagramme commutatif :

(3)

Comme les deux applications $\unicode[STIX]{x1D707}_{\widehat{D}}\circ (\unicode[STIX]{x1D707}_{\widehat{D}}\times \text{id}),\,\unicode[STIX]{x1D707}_{\widehat{D}}\circ (\text{id}\times \unicode[STIX]{x1D707}_{\widehat{D}}):\widehat{D}\times \widehat{D}\times \widehat{D}\rightarrow \widehat{D}$ coïncident après composition par le morphisme canonique $D\times D\times D\rightarrow \widehat{D}\times \widehat{D}\times \widehat{D}$ dont l’image est dense, on obtient $\unicode[STIX]{x1D707}_{\widehat{D}}\circ (\unicode[STIX]{x1D707}_{\widehat{D}}\times \text{id})=\unicode[STIX]{x1D707}_{\widehat{D}}\circ (\text{id}\times \unicode[STIX]{x1D707}_{\widehat{D}})$, i.e. la multiplication est associative. On vérifie de même les autres propriétés qui font de $\widehat{D}$ une $K$-algèbre localement convexe. Il est clair que le morphisme continu canonique $D\rightarrow \widehat{D}$ est alors un morphisme de $K$-algèbres localement convexes.

D’après 1.2.1, les applications $K$-bilinéaires continues structurales canoniques $\unicode[STIX]{x1D707}_{M}:D\times M\rightarrow M$ et $\unicode[STIX]{x1D707}_{N}:D\times N\rightarrow N$ induisent les applications $K$-bilinéaires continues $\unicode[STIX]{x1D707}_{\widehat{M}}:=\widehat{\unicode[STIX]{x1D707}_{M}}:\widehat{D}\times \widehat{M}\rightarrow \widehat{M}$ et $\unicode[STIX]{x1D707}_{\widehat{N}}:=\widehat{\unicode[STIX]{x1D707}_{N}}:\widehat{D}\times \widehat{N}\rightarrow \widehat{N}$. De même, on vérifie que $\unicode[STIX]{x1D707}_{\widehat{M}}$ et $\unicode[STIX]{x1D707}_{\widehat{N}}$ induisent respectivement une structure canonique de $\widehat{D}$-modules localement convexes sur $\widehat{M}$ et $\widehat{N}$. Comme le diagramme

est commutatif après composition par $D\times M\rightarrow \widehat{D}\times \widehat{M}$ dont l’image est dense, celui-là est commutatif. D’où le résultat.

Démonstration.

On sait déjà que l’application $\widehat{\unicode[STIX]{x1D6FD}}$ est continue. Considérons le carré :

(4)

où $\unicode[STIX]{x1D707}_{\widehat{M}}:\widehat{M}\times \widehat{D}\rightarrow \widehat{M}$ et $\unicode[STIX]{x1D707}_{\widehat{N}}:\widehat{D}\times \widehat{N}\rightarrow \widehat{N}$ sont les applications $K$-bilinéaires continues structurales canoniques. Comme l’image de $M\times D\times N$ dans $\widehat{M}\times \widehat{D}\times \widehat{N}$ est dense, le carré

est donc commutatif car il l’est sans les chapeaux.

Démonstration.

Par fonctorialité du foncteur séparée complétion, on dispose du morphisme dans $\mathfrak{D}$ de la forme : $M\widehat{\otimes }_{D}N\rightarrow \widehat{M}\widehat{\otimes }_{\widehat{D}}\widehat{N}.$ Pour construire le morphisme quasi inverse, par propriété universelle du produit tensoriel, il s’agit de définir canoniquement une application continue de la forme $\widehat{M}\times \widehat{N}\rightarrow M\widehat{\otimes }_{D}N$ qui soit $\widehat{D}$-balancée, ce qui résulte aussitôt du lemme 1.3.4 appliqué à $\unicode[STIX]{x1D6FD}$ égale à l’application canonique $M\times N\rightarrow M\otimes _{D}N$.

2.1.1. (Topologie de $O_{\mathfrak{X},\mathbb{Q}}$-algèbre localement convexe canonique (resp. de $O_{\mathfrak{X},\mathbb{Q}}$-algèbre normée) sur $O_{\mathfrak{X}}(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{Q}}$.) On définit les topologies suivantes.

• ∙ Pour tout entier $m$, la topologie canonique de $O_{\mathfrak{X},\mathbb{Q}}$-algèbre localement convexe sur $\widetilde{B}_{\mathfrak{X}}^{(m)}(T)_{\mathbb{Q}}$ est celle dont une base de voisinages de zéro est $(p^{n}\widetilde{B}_{\mathfrak{X}}^{(m)}(T))_{n\in \mathbb{N}}$.

• ∙ On munit $O_{\mathfrak{X}}(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{Q}}$ d’une topologie canonique de $O_{\mathfrak{X},\mathbb{Q}}$-algèbre localement convexe telle que l’isomorphisme canonique $O_{\mathfrak{X}}(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{Q}}\overset{{\sim}}{\longrightarrow }\,\mathop{\varinjlim }\nolimits_{m}\,\widetilde{B}_{\mathfrak{X}}^{(m)}(T)_{\mathbb{Q}}$ soit un homéomorphisme (on remarque que d’après 1.1.4, cela ne dépend pas de l’application $\unicode[STIX]{x1D706}_{0}$).

• ∙ Comme $\bigcap _{n\in \mathbb{N}}p^{n}{O_{\mathfrak{X}}[\frac{1}{f}]}^{\dagger }=\{0\}$ et comme on dispose de l’isomorphisme canonique $O_{\mathfrak{X}}(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{Q}}\overset{{\sim}}{\longrightarrow }\,O_{\mathfrak{X}}[\frac{1}{f}]_{K}^{\dagger }$ (voir la preuve de [Reference BerthelotBer96, 4.3.2]), on munit alors $O_{\mathfrak{X}}(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{Q}}$ d’une structure de $O_{\mathfrak{X},\mathbb{Q}}$-algèbre normée (à ne pas confondre avec la topologie canonique induite par la limite inductive) dont une base de voisinages de zéro est donnée par $(p^{n}O_{\mathfrak{X}}[\frac{1}{f}]^{\dagger })_{n\in \mathbb{N}}$. Muni de cette topologie, $O_{\mathfrak{X}}(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{Q}}$ est normée mais pas de Banach : son séparé complété est $O_{\mathfrak{X}}\{\frac{1}{f}\}_{K}$. Rappelons enfin que comme $O_{\mathfrak{X}}(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{Q}}\overset{{\sim}}{\longrightarrow }\,O_{\mathfrak{X}}[\frac{1}{f}]_{K}^{\dagger }$, alors $O_{\mathfrak{X}}(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{Q}}$ est noethérien (voir [Reference FultonFul69]).

• ∙ Comme nous préférons travailler avec des $K$-espaces de type $LB$ (voir le lemme 2.2.5), nous prenons par défaut la topologie canonique de $O_{\mathfrak{X},\mathbb{Q}}$-algèbre localement convexe sur $O_{\mathfrak{X}}(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{Q}}$ (définie dans le deuxième point).

2.1.2. (Faisceaux des opérateurs différentiels.)

• ∙ Pour tout entier $m\geqslant 0$, on munit canoniquement $\widetilde{D}_{\mathfrak{X}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)}$ d’une topologie de $\widetilde{B}_{\mathfrak{X}}^{(m)}(T)_{\mathbb{Q}}$-module de Banach, i.e. les $p^{n}\widetilde{D}_{\mathfrak{X}^{\sharp }}^{(m)}$ avec $n\in \mathbb{N}$ forment une base de voisinages de zéro. On dispose de même d’une structure canonique de $\widetilde{B}_{{\mathcal{Z}}}^{(m)}(U)_{\mathbb{Q}}$-module de Banach sur respectivement $\widetilde{D}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)}$, $\widetilde{D}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp }\rightarrow \mathfrak{X}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)}$ et $\widetilde{D}_{\mathfrak{X}^{\sharp }\leftarrow {\mathcal{Z}}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)}$via la base de voisinages de zéro d’ouverts donnée par respectivement $(p^{n}\widetilde{D}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp }}^{(m)})_{n\in \mathbb{N}}$, $(p^{n}\widetilde{D}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp }\rightarrow \mathfrak{X}^{\sharp }}^{(m)})_{n\in \mathbb{N}}$ et $(p^{n}\widetilde{D}_{\mathfrak{X}^{\sharp }\leftarrow {\mathcal{Z}}^{\sharp }}^{(m)})_{n\in \mathbb{N}}$.

• ∙ La topologie canonique sur la $O_{\mathfrak{X},\mathbb{Q}}$-algèbre $D_{\mathfrak{X}^{\sharp }}^{\dagger }(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{Q}}$ est la topologie limite inductive dans $\mathfrak{C}$via $D_{\mathfrak{X}^{\sharp }}^{\dagger }(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{Q}}=\mathop{\varinjlim }\nolimits_{m}\widetilde{D}_{\mathfrak{X}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)}$, où les $\widetilde{D}_{\mathfrak{X}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)}$ sont munis de la topologie définie ci-dessus. Une base de voisinages de zéro de $D_{\mathfrak{X}^{\sharp }}^{\dagger }(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{Q}}$ est donc donnée par la famille $\sum _{m=0}^{\infty }p^{n_{m}}\widetilde{D}_{\mathfrak{X}^{\sharp }}^{(m)}$, où $(n_{m})_{m\in \mathbb{N}}$ parcourt les suites d’entiers positifs et où l’on a noté $\sum _{m=0}^{\infty }p^{n_{m}}\widetilde{D}_{\mathfrak{X}^{\sharp }}^{(m)}:=\underset{n\in \mathbb{N}}{\varinjlim }\sum _{m=0}^{n}p^{n_{m}}\widetilde{D}_{\mathfrak{ X}^{\sharp }}^{(m)}$.

• ∙ De même, on définit respectivement sur $D_{{\mathcal{Z}}^{\sharp }}^{\dagger }(\text{}^{\dagger }U)_{\mathbb{Q}}=\mathop{\varinjlim }\nolimits_{m}\widetilde{D}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)}$, $\widetilde{D}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp }\rightarrow \mathfrak{X}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{\dagger }=\mathop{\varinjlim }\nolimits_{m}\widetilde{D}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp }\rightarrow \mathfrak{X}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)}$ et $\widetilde{D}_{\mathfrak{X}^{\sharp }\leftarrow {\mathcal{Z}}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{\dagger }=\mathop{\varinjlim }\nolimits_{m}\widetilde{D}_{\mathfrak{X}^{\sharp }\leftarrow {\mathcal{Z}}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)}$ une topologie canonique de $O_{{\mathcal{Z}},\mathbb{Q}}$-module localement convexe. On remarque que d’après le lemme 1.1.4, on peut remplacer l’indice $\mathbb{N}$ par un sous-ensemble cofinal sans changer la topologie.

2.1.3. (Topologie canonique d’un $D_{\mathfrak{X}^{\sharp }}^{\dagger }(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{Q}}$-module cohérent.) Soit $E$ un $D_{\mathfrak{X}^{\sharp }}^{\dagger }(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{Q}}$-module cohérent. On le munit d’une topologie canonique de $O_{\mathfrak{X},\mathbb{Q}}$-module localement convexe de la manière suivante. D’après [Reference BerthelotBer96, 3.6], il existe pour $m_{0}$ assez grand un $\widetilde{D}_{\mathfrak{X}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m_{0})}$-module de type fini $E^{(m_{0})}$ et un isomorphisme $D_{\mathfrak{X}^{\sharp }}^{\dagger }(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{Q}}$-linéaire de la forme $\unicode[STIX]{x1D716}:D_{\mathfrak{X}^{\sharp }}^{\dagger }(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{Q}}\otimes _{\widetilde{D}_{\mathfrak{X}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m_{0})}}E^{(m_{0})}\overset{{\sim}}{\longrightarrow }\,E$. Pour tout entier $m\geqslant m_{0}$, posons $E^{(m)}:=\widetilde{D}_{\mathfrak{X}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)}\otimes _{\widetilde{D}_{\mathfrak{X}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m_{0})}}E^{(m_{0})}$. On munit $E^{(m)}$ de la topologie canonique qui en fait un $\widetilde{D}_{\mathfrak{X}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)}$-module de type fini de Banach (égale à la topologie quotient via un épimorphisme de la forme $(\widetilde{D}_{\mathfrak{X}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)})^{r}\rightarrow E^{(m)}$). Comme pour tout $m$ les morphismes canoniques de la forme $(\widetilde{D}_{\mathfrak{X}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)})^{r}\rightarrow (\widetilde{D}_{\mathfrak{X}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m+1)})^{r}$ sont continus, on en déduit que le morphisme canonique $E^{(m)}\rightarrow E^{(m+1)}$ est continu. On munit $E$ d’une topologie de $D_{\mathfrak{X}^{\sharp }}^{\dagger }(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{Q}}$-module cohérent localement convexe qui fait de $\unicode[STIX]{x1D716}:\mathop{\varinjlim }\nolimits_{m}E^{(m)}\overset{{\sim}}{\longrightarrow }\,E$ un homéomorphisme. Cela ne dépend pas du choix de $(m_{0},E^{(m_{0})},\unicode[STIX]{x1D716})$. En effet, soit pour $m\text{sp}\prime _{0}$ assez grand un $\widetilde{D}_{\mathfrak{X}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m\text{sp}\prime _{0})}$-module de type fini $E^{\prime (m\text{sp}\prime _{0})}$ et un isomorphisme $D_{\mathfrak{X}^{\sharp }}^{\dagger }(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{Q}}$-linéaire de la forme $\unicode[STIX]{x1D716}\text{sp}\prime :D_{\mathfrak{X}^{\sharp }}^{\dagger }(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{Q}}\otimes _{\widetilde{D}_{\mathfrak{X}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m_{0})}}E^{\prime (m\text{sp}\prime _{0})}\overset{{\sim}}{\longrightarrow }\,E$. Pour $m\geqslant m\text{sp}\prime _{0}$, posons $E^{\prime (m)}:=\widetilde{D}_{\mathfrak{X}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)}\otimes _{\widetilde{D}_{\mathfrak{X}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m\text{sp}\prime _{0})}}E^{\prime (m\text{sp}\prime _{0})}$. D’après [Reference BerthelotBer96, 3.6.2], pour $m\text{sp}\prime \prime _{0}$ assez grand, il existe pour tout $m\geqslant m\text{sp}\prime \prime _{0}$ des isomorphismes $\widetilde{D}_{\mathfrak{X}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)}$-linéaires $\unicode[STIX]{x1D716}_{m}:E^{\prime (m)}\overset{{\sim}}{\longrightarrow }\,E^{(m)}$ tels que $\unicode[STIX]{x1D716}\circ \unicode[STIX]{x1D716}^{\dagger }=\unicode[STIX]{x1D716}\text{sp}\prime$, avec $\unicode[STIX]{x1D716}^{\dagger }:=\mathop{\varinjlim }\nolimits_{m}\,\unicode[STIX]{x1D716}_{m}$. Or, d’après [Reference Bosch, Güntzer and RemmertBGR84, 3.7.3] (en effet, on remarque que la commutativité des anneaux est superflue), les $\unicode[STIX]{x1D716}_{m}$ sont des homéomorphismes. Par passage à la limite, on en déduit que $\unicode[STIX]{x1D716}^{\dagger }$ est un homéomorphisme. D’où la canonicité de la topologie (on utilise aussi 1.1.4).

2.1.4. (Topologie canonique d’un $O_{\mathfrak{X}}(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{Q}}$-module de type fini.) Soit $E$ un $O_{\mathfrak{X}}(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{Q}}$-module de type fini. D’après [Reference BerthelotBer96, 3.6.2], il existe, pour $m_{0}$ assez grand, un $\widetilde{B}_{\mathfrak{X}}^{(m_{0})}(T)_{\mathbb{Q}}$-module de type fini $E^{(m_{0})}$ et un isomorphisme $O_{\mathfrak{X}}(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{Q}}$-linéaire de la forme $\unicode[STIX]{x1D716}:O_{\mathfrak{X}}(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{Q}}\otimes _{\widetilde{B}_{\mathfrak{X}}^{(m_{0})}(T)_{\mathbb{Q}}}E^{(m_{0})}\overset{{\sim}}{\longrightarrow }\,E$. Pour tout entier $m\geqslant m_{0}$, posons $E^{(m)}:=\widetilde{B}_{\mathfrak{X}}^{(m)}(T)_{\mathbb{Q}}\otimes _{\widetilde{B}_{\mathfrak{X}}^{(m_{0})}(T)_{\mathbb{Q}}}E^{(m_{0})}$. On munit $E^{(m)}$ de la topologie canonique qui en fait un $\widetilde{B}_{\mathfrak{X}}^{(m)}(T)_{\mathbb{Q}}$-module de type fini de Banach (égale à la topologie quotient via un épimorphisme de la forme $(\widetilde{B}_{\mathfrak{X}}^{(m)}(T)_{\mathbb{Q}})^{r}\rightarrow E^{(m)}$). Comme, pour tout $m$, les morphismes canoniques de la forme $(\widetilde{B}_{\mathfrak{X}}^{(m)}(T)_{\mathbb{Q}})^{r}\rightarrow (\widetilde{B}_{\mathfrak{X}}^{(m+1)}(T)_{\mathbb{Q}})^{r}$ sont continus, on en déduit que le morphisme canonique $E^{(m)}\rightarrow E^{(m+1)}$ est continu. On munit $E$ d’une topologie de $O_{\mathfrak{X}}(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{Q}}$-module de type fini localement convexe qui fait de $\unicode[STIX]{x1D716}:\mathop{\varinjlim }\nolimits_{m}E^{(m)}\overset{{\sim}}{\longrightarrow }\,E$ un homéomorphisme. De manière analogue à 2.1.3, on vérifie que cela ne dépend pas du choix de $(m_{0},E^{(m_{0})},\unicode[STIX]{x1D716})$.

Démonstration.

De manière analogue à [Reference BerthelotBer96, 4.4.5] (voir aussi [Reference BerthelotBer96, 4.4.7]), quitte à augmenter $\unicode[STIX]{x1D706}_{0}$, il existe pour $m_{0}$ assez grand un $\widetilde{D}_{\mathfrak{X}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m_{0})}$-module de type fini topologiquement nilpotent $E^{(m_{0})}$ qui est pour la structure induite un $\widetilde{B}_{\mathfrak{X}}^{(m_{0})}(T)_{\mathbb{Q}}$-module de type fini et tel que $E\overset{{\sim}}{\longrightarrow }\,D_{\mathfrak{X}^{\sharp }}^{\dagger }(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{Q}}\otimes _{\widetilde{D}_{\mathfrak{X}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m_{0})}}E^{(m_{0})}$. Or, d’après [Reference BerthelotBer96, 4.1.2], la topologie canonique de $E^{(m_{0})}$ en tant que $\widetilde{B}_{\mathfrak{X}}^{(m_{0})}(T)_{\mathbb{Q}}$-module de type fini est la même que celle en tant que $\widetilde{D}_{\mathfrak{X}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m_{0})}$-module de type fini. De manière analogue à [Reference BerthelotBer96, 4.4.11], on vérifie que le morphisme canonique

$$\begin{eqnarray}\widetilde{B}_{\mathfrak{X}}^{(m)}(T)_{\mathbb{ Q}}\otimes _{\widetilde{B}_{\mathfrak{X}}^{(m_{0})}(T)_{\mathbb{Q}}}E^{(m_{0})}\rightarrow \widetilde{D}_{\mathfrak{ X}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)}\otimes _{\widetilde{D}_{\mathfrak{X}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m_{0})}}E^{(m_{0})}\end{eqnarray}$$

est un isomorphisme. D’où le résultat.

Démonstration.

D’après [Reference BerthelotBer96, 3.6], il existe pour un entier positif $m_{0}$ assez grand un morphisme de $\widetilde{D}_{\mathfrak{X}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m_{0})}$-modules de type fini $\unicode[STIX]{x1D719}^{(m_{0})}:E^{(m_{0})}\rightarrow E^{\prime (m_{0})}$ tel que $D_{\mathfrak{X}^{\sharp }}^{\dagger }(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{Q}}\otimes _{\widetilde{D}_{\mathfrak{X}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m_{0})}}\unicode[STIX]{x1D719}^{(m_{0})}$ soit isomorphe à $\unicode[STIX]{x1D719}$. Comme $\unicode[STIX]{x1D719}^{(m_{0})}$ est continu pour les topologies canoniques (voir [Reference Bosch, Güntzer and RemmertBGR84, 3.7.3]), il en résulte que $\unicode[STIX]{x1D719}$ est continu. Le cas respectif se traite de la même manière.

Démonstration.

D’après [Reference BerthelotBer96, 3.6], il existe pour un entier positif $m_{0}$ assez grand un morphisme de $\widetilde{D}_{\mathfrak{X}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m_{0})}$-modules de type fini $\unicode[STIX]{x1D719}^{(m_{0})}:E^{(m_{0})}\rightarrow E^{\prime (m_{0})}$ tel que $D_{\mathfrak{X}^{\sharp }}^{\dagger }(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{Q}}\otimes _{\widetilde{D}_{\mathfrak{X}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m_{0})}}\unicode[STIX]{x1D719}^{(m_{0})}$ soit isomorphe à $\unicode[STIX]{x1D719}$. Comme on a $D_{\mathfrak{X}^{\sharp }}^{\dagger }(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{Q}}\otimes _{\widetilde{D}_{\mathfrak{X}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m_{0})}}\text{coker}(\unicode[STIX]{x1D719}^{(m_{0})})=\{0\}$, quitte à augmenter $m_{0}$, on peut supposer que $\unicode[STIX]{x1D719}^{(m_{0})}$ est surjectif. Il en est alors de même de $\widetilde{D}_{\mathfrak{X}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)}\otimes _{\widetilde{D}_{\mathfrak{X}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m_{0})}}\unicode[STIX]{x1D719}^{(m_{0})}$, pour tout entier $m\geqslant m_{0}$, ces derniers étant d’ailleurs continus et stricts pour les topologies de Banach respectives (voir [Reference Bosch, Güntzer and RemmertBGR84, 3.7.3, corollary 5]). Par passage à la limite, il en résulte que $\unicode[STIX]{x1D719}$ est strict (voir 1.1.3). Le cas respectif se traite de la même manière.

Démonstration.

On dispose des isomorphismes canoniques $O_{\mathfrak{X}}(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{Q}}\overset{{\sim}}{\longrightarrow }\,O_{\mathfrak{X}}[\frac{1}{f}]_{K}^{\dagger }$ et $\widetilde{B}_{\mathfrak{X}}^{(m)}(T)\overset{{\sim}}{\longrightarrow }\,O_{\mathfrak{X}}\{\frac{p}{f^{p^{m+1}}}\}$ (voir la preuve de [Reference BerthelotBer96, 4.3.2]). Il en résulte le morphisme de ${\mathcal{V}}$-algèbres $\widetilde{B}_{\mathfrak{X}}^{(m)}(T){\hookrightarrow}O_{\mathfrak{X}}[\frac{1}{f}]^{\dagger }$ (pour l’injectivité, voir [Reference BerthelotBer96, 4.3.3.(ii)]). Le morphisme canonique de $O_{\mathfrak{X},\mathbb{Q}}$-algèbres $\widetilde{B}_{\mathfrak{X}}^{(m)}(T)_{\mathbb{Q}}{\hookrightarrow}O_{\mathfrak{X}}(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{Q}}$ est donc continu, avec $O_{\mathfrak{X}}(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{Q}}$ muni de sa topologie de $O_{\mathfrak{X},\mathbb{Q}}$-algèbre normée. En passant à la limite, on en déduit le résultat.

Démonstration.

Notons $M:=(O_{\mathfrak{X}}(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{Q}})^{r}/I$ et $M_{0}$ l’image du morphisme composé $(O_{\mathfrak{X}}[\frac{1}{f}]^{\dagger })^{r}\subset (O_{\mathfrak{ X}}(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{ Q}})^{r}{\twoheadrightarrow}M$. Munissons $M$ de la topologie quotient (pour la topologie canonique de $(O_{\mathfrak{X}}(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{Q}})^{r}$). Il s’agit ainsi de vérifier que $M$ est séparé pour cette topologie. Or, comme pour tout entier $n$ le ${\mathcal{V}}$-module $p^{n}(O_{\mathfrak{X}}[\frac{1}{f}]^{\dagger })^{r}$ est un ouvert de $(O_{\mathfrak{X}}(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{Q}})^{r}$ (voir 2.2.5), le ${\mathcal{V}}$-module $p^{n}M_{0}$ est alors un ouvert de $M$. En outre, comme $O_{\mathfrak{X}}[\frac{1}{f}]^{\dagger }$ est noethérien et comme $O_{\mathfrak{X}}[\frac{1}{f}]^{\dagger }\rightarrow O_{\mathfrak{ X}}\{\frac{1}{f}\}$ est fidèlement plat, comme $M_{0}$ est un $O_{\mathfrak{X}}[\frac{1}{f}]^{\dagger }$-module de type fini, alors $M_{0}$ est séparé pour la topologie $p$-adique (voir [Reference MatsumuraMat89, Théorèmes 8.10 et 8.12]), i.e. $\bigcap _{n\in \mathbb{N}}p^{n}M_{0}=\{0\}$. Il en résulte que $M$ est séparé.

Démonstration.

Soit $M$ un $O_{\mathfrak{X}}(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{Q}}$-module de type fini muni de sa topologie canonique. Il existe un épimorphisme de $O_{\mathfrak{X}}(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{Q}}$-modules de la forme $(O_{\mathfrak{X}}(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{Q}})^{r}{\twoheadrightarrow}M$. D’après 2.2.4, ce morphisme est strict pour les topologies canoniques respectives. Il résulte alors de 2.2.6 que $M$ est séparé et donc $M$ est un $O_{\mathfrak{X},\mathbb{Q}}$-module de type LB. Si $M\text{sp}\prime$ est un sous-$O_{\mathfrak{X}}(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{Q}}$-module de $M$, alors, grâce à 2.2.4, le module $M/M\text{sp}\prime$ est séparé pour la topologie quotient induite par $M$. D’où le résultat.

Remarque 2.2.8. Soit $I\subset (D_{\mathfrak{X}^{\sharp }}^{\dagger }(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{Q}})^{r}$ un sous-$D_{\mathfrak{X}^{\sharp }}^{\dagger }(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{Q}}$-module cohérent. Soit $J\subset (O_{\mathfrak{X}}(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{Q}})^{r}$ un sous-$O_{\mathfrak{X}}(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{Q}}$-module. Il n’est pas clair que ces inclusions soient strictes pour les topologies canoniques respectives ni que $I$ soit fermé dans $(D_{\mathfrak{X}^{\sharp }}^{\dagger }(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{Q}})^{r}$. Cependant, d’après une communication de Tomoyuki Abe, les $D_{\mathfrak{X}^{\sharp }}^{\dagger }(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{Q}}$-modules cohérents sont aussi des espaces de type LB.

Démonstration.

(1) La continuité de $\unicode[STIX]{x1D719}$ résulte du lemme 2.2.3.

(2) Vérifions à présent que $u_{g}^{\ast }(\unicode[STIX]{x1D719})$ est continu. Notons $\unicode[STIX]{x1D70B}$ les morphismes $O_{\mathfrak{X},\mathbb{Q}}$-linéaires surjectifs de la forme $\unicode[STIX]{x1D70B}:(D_{\mathfrak{X}^{\sharp }}^{\dagger }(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{Q}})^{n}{\twoheadrightarrow}(D_{{\mathcal{Z}}^{\sharp }\rightarrow \mathfrak{X}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{\dagger })^{n}$, pour un certain entier positif $n$. Comme $u_{g}^{\ast }(\unicode[STIX]{x1D719})\circ \unicode[STIX]{x1D70B}=\unicode[STIX]{x1D70B}\circ \unicode[STIX]{x1D719}$, il suffit d’établir que $\unicode[STIX]{x1D70B}$ est un morphisme continu et strict. Comme la surjection canonique $\widetilde{D}_{\mathfrak{X}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)}\rightarrow \widetilde{D}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp }\rightarrow \mathfrak{X}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)}$ envoie $\widetilde{D}_{\mathfrak{X}^{\sharp }}^{(m)}$ sur $\widetilde{D}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp }\rightarrow \mathfrak{X}^{\sharp }}^{(m)}$, celle-là est donc continue. D’après le théorème de l’application ouverte de Banach, ce morphisme surjectif et continu de $K$-espaces de Banach est donc strict. Il découle alors du lemme 1.1.3 qu’il en est de même par passage à la limite sur le niveau de $\unicode[STIX]{x1D70B}$.

(3) On procède de même que pour l’étape (2) pour valider la continuité de $u_{d}^{\ast }(\unicode[STIX]{x1D713})$.

Démonstration.

D’après 1.1.4, il suffit de traiter le cas où $N_{m}=m$. Comme les $K$-espaces $\widetilde{D}_{\mathfrak{X}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)}$ sont de Banach, il s’agit de vérifier la séparation de $\underset{m}{\varinjlim }~\widetilde{D}_{\mathfrak{X}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)}$. Notons $L$ le sous-${\mathcal{V}}$-module de $D_{\mathfrak{X}^{\sharp }}^{\dagger }(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{Q}}$ des éléments qui s’écrivent sous la forme $\sum _{\text{}\underline{k}\in \mathbb{N}^{d}}a_{\text{}\underline{k}}\text{}\underline{\unicode[STIX]{x2202}}_{\sharp }^{[\text{}\underline{k}]}$ avec $a_{\text{}\underline{k}}\in {\mathcal{O}}_{\mathfrak{X}}[\frac{1}{f}]^{\dagger }$ (on demande bien sûr que la série converge dans $D_{\mathfrak{X}^{\sharp }}^{\dagger }(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{Q}}$). Or, comme $p^{n}L\supset p^{n}D_{\mathfrak{X}^{\sharp }}^{\dagger }(\text{}^{\dagger }T)=\sum _{m=0}^{\infty }p^{n}\widetilde{D}_{\mathfrak{X}^{\sharp }}^{(m)}$, alors $p^{n}L$ est un ouvert de $D_{\mathfrak{X}^{\sharp }}^{\dagger }(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{Q}}$ pour tout entier $n$. Par unicité de l’écriture sous la forme $\sum _{\text{}\underline{k}\in \mathbb{N}^{d}}a_{\text{}\underline{k}}\text{}\underline{\unicode[STIX]{x2202}}_{\sharp }^{[\text{}\underline{k}]}$ des éléments de $L$, on vérifie que $\bigcap _{n\in \mathbb{N}}p^{n}L=\{0\}$. On obtient donc la séparation voulue.

Démonstration.

On résout la première assertion de manière analogue à 1.1.4. Pour la seconde assertion, on procède de manière analogue à 2.3.2.

Démonstration.

Comme le foncteur $\unicode[STIX]{x1D6E4}({\mathcal{Z}},-)$ commute aux limites projectives, on vérifie que le morphisme canonique $O_{{\mathcal{Z}}}\otimes _{O_{\mathfrak{X}}}\widetilde{D}_{\mathfrak{X}^{\sharp }}^{(m)}\rightarrow \widetilde{D}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp }\rightarrow \mathfrak{X}^{\sharp }}^{(m)}$ est un isomorphisme. Comme le foncteur $\unicode[STIX]{x1D6E4}({\mathcal{Z}},-)$ et le produit tensoriel commutent à la tensorisation par $\mathbb{Q}$ (car ${\mathcal{Z}}$ est noethérien) et aux limites inductives filtrantes de faisceaux sur ${\mathcal{Z}}$, on en déduit les deux autres isomorphismes.

On procède de même pour les annulations, les propriétés satisfaites par le foncteur $\unicode[STIX]{x1D6E4}({\mathcal{Z}},-)$ que l’on a utilisées étant toujours valables pour les foncteurs dérivés $H^{q}({\mathcal{Z}},-)$ (voir [Reference BerthelotBer96, 3.3.2, 3.4.0.1 et 3.6.5]).

Notations 3.1.2. (Images inverses dérivées gauches.) Soit $E^{(m)}$ un $\widetilde{D}_{\mathfrak{X}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)}$-module cohérent à gauche. On pose ${\mathcal{E}}^{(m)}:=\widetilde{{\mathcal{D}}}_{\mathfrak{X}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)}\otimes _{\widetilde{D}_{\mathfrak{ X}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)}}E^{(m)}$, $E:=D_{\mathfrak{X}^{\sharp }}^{\dagger }(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{Q}}\otimes _{\widetilde{D}_{\mathfrak{ X}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)}}E^{(m)}$ et ${\mathcal{E}}:={\mathcal{D}}_{\mathfrak{X}^{\sharp }}^{\dagger }(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{Q}}\otimes _{\widetilde{D}_{\mathfrak{ X}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)}}E^{(m)}$. On définit les foncteurs images inverses dérivées gauches en posant $\mathbb{L}u^{\ast }(E^{(m)}):=\widetilde{D}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp }\rightarrow \mathfrak{X}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)}\otimes _{\widetilde{D}_{\mathfrak{ X}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)}}^{\mathbb{L}}E^{(m)}$, $\mathbb{L}u^{\ast }({\mathcal{E}}^{(m)}):=\widetilde{{\mathcal{D}}}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp }\rightarrow \mathfrak{X}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)}\otimes _{\widetilde{{\mathcal{D}}}_{\mathfrak{ X}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)}}^{\mathbb{L}}{\mathcal{E}}^{(m)}$. De la même manière, $\mathbb{L}u^{\ast }(E):=D_{{\mathcal{Z}}^{\sharp }\rightarrow \mathfrak{X}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{\dagger }\otimes _{D_{\mathfrak{ X}^{\sharp }}^{\dagger }(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{Q}}}^{\mathbb{L}}E$ et $\mathbb{L}u^{\ast }({\mathcal{E}}):={\mathcal{D}}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp }\rightarrow \mathfrak{X}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{\dagger }\otimes _{{\mathcal{D}}_{\mathfrak{ X}^{\sharp }}^{\dagger }(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{Q}}}^{\mathbb{L}}{\mathcal{E}}$. On remarque que les notations sont justifiées par le lemme 3.1.1 et correspondent aux foncteurs $\mathbb{L}u^{\ast }$ calculés dans la catégorie des $O_{\mathfrak{X},\mathbb{Q}}$-modules ou ${\mathcal{O}}_{\mathfrak{X},\mathbb{Q}}$-modules. Enfin, d’après les théorèmes de type $A$, tous les $\widetilde{{\mathcal{D}}}_{\mathfrak{X}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)}$-modules cohérents et les ${\mathcal{D}}_{\mathfrak{X}^{\sharp }}^{\dagger }(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{Q}}$-modules cohérents sont de cette forme (voir respectivement [Reference BerthelotBer96, 3.4 et 3.6.5]).

De même, en remplac˛ant $?_{{\mathcal{Z}}^{\sharp }\rightarrow \mathfrak{X}^{\sharp },\mathbb{Q}}$ par $?_{\mathfrak{X}^{\sharp }\leftarrow {\mathcal{Z}}^{\sharp },\mathbb{Q}}$, on définit le foncteur $\mathbb{L}u^{\ast }$ pour les modules à droite. Par exemple, si $E^{(m)}$ est un $\widetilde{D}_{\mathfrak{X}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)}$-module cohérent à droite, on pose $\mathbb{L}u^{\ast }(E^{(m)}):=E\otimes _{\widetilde{D}_{\mathfrak{ X}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)}}^{\mathbb{L}}\widetilde{D}_{\mathfrak{ X}^{\sharp }\leftarrow {\mathcal{Z}}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)}$. Enfin, si l’on veut préciser que l’on a affaire à des modules à gauche (resp. à droite), on pourra noter $\mathbb{L}u_{g}^{\ast }$ (resp. $\mathbb{L}u_{d}^{\ast }$) à la place de $\mathbb{L}u^{\ast }$.

Démonstration.

Le premier se traitant de manière analogue, contentons-nous de vérifier le dernier isomorphisme. Soit $P^{\bullet }$ une résolution gauche de $E$ par des $D_{\mathfrak{X}^{\sharp }}^{\dagger }(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{Q}}$-modules libres de type fini. Le complexe ${\mathcal{P}}^{\bullet }:={\mathcal{D}}_{\mathfrak{X}^{\sharp }}^{\dagger }(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{Q}}\otimes _{D_{\mathfrak{ X}^{\sharp }}^{\dagger }(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{Q}}}P^{\bullet }$ est alors une résolution gauche de ${\mathcal{E}}$ par des ${\mathcal{D}}_{\mathfrak{X}^{\sharp }}^{\dagger }(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{Q}}$-modules libres de type fini. On dispose alors des isomorphismes canoniques :

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \hspace{-4.0pt} & \displaystyle D_{{\mathcal{Z}}^{\sharp }\rightarrow \mathfrak{X}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{\dagger }\otimes _{D_{\mathfrak{ X}^{\sharp }}^{\dagger }(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{Q}}}^{\mathbb{L}}E\overset{{\sim}}{\longleftarrow }\,D_{{\mathcal{Z}}^{\sharp }\rightarrow \mathfrak{X}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{\dagger }\otimes _{D_{\mathfrak{X}^{\sharp }}^{\dagger }(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{Q}}}P^{\bullet } & \displaystyle \nonumber\\ \displaystyle \hspace{-4.0pt} & \displaystyle \overset{{\sim}}{\longrightarrow }\,\unicode[STIX]{x1D6E4}({\mathcal{Z}},{\mathcal{D}}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp }\rightarrow \mathfrak{X}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{\dagger }\otimes _{D_{\mathfrak{ X}^{\sharp }}^{\dagger }(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{Q}}}P^{\bullet })\overset{{\sim}}{\longrightarrow }\,\unicode[STIX]{x1D6E4}({\mathcal{Z}},{\mathcal{D}}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp }\rightarrow \mathfrak{X}^{\sharp }}^{\dagger }\otimes _{u^{-1}{\mathcal{D}}_{\mathfrak{X}^{\sharp }}^{\dagger }(\text{}^{\dagger }T)}u^{-1}{\mathcal{P}}^{\bullet })\overset{{\sim}}{\longrightarrow }\, & \displaystyle \nonumber\\ \displaystyle \hspace{-4.0pt} & \displaystyle \mathbb{R}\unicode[STIX]{x1D6E4}({\mathcal{Z}},{\mathcal{D}}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp }\rightarrow \mathfrak{X}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{\dagger }\otimes _{u^{-1}{\mathcal{D}}_{\mathfrak{X}^{\sharp }}^{\dagger }(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{Q}}}u^{-1}{\mathcal{P}}^{\bullet })\overset{{\sim}}{\longrightarrow }\,\mathbb{R}\unicode[STIX]{x1D6E4}({\mathcal{Z}},{\mathcal{D}}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp }\rightarrow \mathfrak{X}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{\dagger }\otimes _{u^{-1}{\mathcal{D}}_{\mathfrak{X}^{\sharp }}^{\dagger }(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{Q}}}^{\mathbb{L}}u^{-1}{\mathcal{E}}), & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

l’avant-dernier isomorphisme résultant du fait que les ${\mathcal{D}}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp }\rightarrow \mathfrak{X}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{\dagger }$-modules libres sont $\unicode[STIX]{x1D6E4}({\mathcal{Z}},-)$-acycliques (voir le lemme 3.1.1).

Remarque 3.1.4. Comme les ${\mathcal{D}}_{\mathfrak{X}^{\sharp }}^{\dagger }(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{Q}}$-modules cohérents (resp. les $\widetilde{{\mathcal{D}}}_{\mathfrak{X}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)}$-modules cohérents) vérifient le théorème de type $B$ (voir [Reference BerthelotBer96, 3.6.4]), on aurait pu utiliser les résolutions de Koszul pour valider le lemme 3.1.3 ci-dessus.

Notations 3.2.1. Pour tout entier $m\geqslant 0$, on pose $D_{{\mathcal{Z}}^{\sharp }}^{(m)}(U):=\widetilde{B}_{{\mathcal{Z}}}^{(m)}(U)\otimes _{{\mathcal{O}}_{{\mathcal{Z}}}}D_{{\mathcal{Z}}^{\sharp }}^{(m)}$ et $D_{\mathfrak{X}^{\sharp }\leftarrow {\mathcal{Z}}^{\sharp }}^{(m)}(U):=D_{\mathfrak{X}^{\sharp }\leftarrow {\mathcal{Z}}^{\sharp }}^{(m)}\otimes _{{\mathcal{O}}_{{\mathcal{Z}}}}\widetilde{B}_{{\mathcal{Z}}}^{(m)}(U)$. On munit $D_{{\mathcal{Z}}^{\sharp }}^{(m)}(U)_{\mathbb{Q}}$ (resp. $D_{\mathfrak{X}^{\sharp }\leftarrow {\mathcal{Z}}^{\sharp }}^{(m)}(U)_{\mathbb{Q}}$) d’une structure de $\widetilde{B}_{{\mathcal{Z}}}^{(m)}(U)_{\mathbb{Q}}$-algèbre normée dont une base de voisinages de zéro est donnée par la famille $(p^{n}D_{{\mathcal{Z}}^{\sharp }}^{(m)}(U))_{n\in \mathbb{N}}$ (resp. $(p^{n}D_{\mathfrak{X}^{\sharp }\leftarrow {\mathcal{Z}}^{\sharp }}^{(m)}(U))_{n\in \mathbb{N}}$). En d’autres termes, ce sont les topologies provenant des normes induites via les inclusions $D_{{\mathcal{Z}}^{\sharp }}^{(m)}(U)_{\mathbb{Q}}{\hookrightarrow}\widetilde{D}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)}$ et $D_{\mathfrak{X}^{\sharp }\leftarrow {\mathcal{Z}}^{\sharp }}^{(m)}(U)_{\mathbb{Q}}{\hookrightarrow}\widetilde{D}_{\mathfrak{X}^{\sharp }\leftarrow {\mathcal{Z}}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)}$. De plus, on remarque que le séparé complété de $D_{{\mathcal{Z}}^{\sharp }}^{(m)}(U)_{\mathbb{Q}}$ (resp. $D_{\mathfrak{X}^{\sharp }\leftarrow {\mathcal{Z}}^{\sharp }}^{(m)}(U)_{\mathbb{Q}}$) est $\widetilde{D}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)}$ (resp. $\widetilde{D}_{\mathfrak{X}^{\sharp }\leftarrow {\mathcal{Z}}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)}$).

Démonstration.

(1) Supposons d’abord que l’on dispose en réalité de la suite exacte $0\rightarrow V\text{sp}\prime \underset{\unicode[STIX]{x1D719}}{\longrightarrow }V\underset{\unicode[STIX]{x1D713}}{\longrightarrow }V\text{sp}\prime \prime \rightarrow 0$. Pour tout $\text{}\underline{k}\in \mathbb{N}^{e}$, en identifiant $\mathbb{N}^{e}$ à un sous-ensemble de $\mathbb{N}^{d}$via l’inclusion $\text{}\underline{k}=(k_{1},\ldots ,k_{e})\mapsto (k_{1},\ldots ,k_{e},0,\ldots ,0)$, notons $\unicode[STIX]{x1D709}_{\text{}\underline{k},(m)}$ l’image de $\text{}\underline{\unicode[STIX]{x2202}}^{{<}\text{}\underline{k}{>}_{(m)}}$ (comme $\text{}\underline{k}\in \mathbb{N}^{e}$, on remarque que $\text{}\underline{\unicode[STIX]{x2202}}^{{<}\text{}\underline{k}{>}_{(m)}}=\text{}\underline{\unicode[STIX]{x2202}}_{\sharp }^{{<}\text{}\underline{k}{>}_{(m)}}$) via la surjection canonique $D_{\mathfrak{X}^{\sharp }}^{(m)}(U)_{\mathbb{Q}}{\twoheadrightarrow}D_{\mathfrak{X}^{\sharp }\leftarrow {\mathcal{Z}}^{\sharp }}^{(m)}(U)_{\mathbb{Q}}$. Les éléments du $K$-espace vectoriel $D_{\mathfrak{X}^{\sharp }\leftarrow {\mathcal{Z}}^{\sharp }}^{(m)}(U)_{\mathbb{Q}}\otimes _{D_{{\mathcal{Z}}^{\sharp }}^{(m)}(U)_{\mathbb{Q}}}V$ s’écrivent de manière unique sous la forme $\sum _{\text{}\underline{k}\in \mathbb{N}^{e}}\unicode[STIX]{x1D709}_{\text{}\underline{k},(m)}\otimes x_{\text{}\underline{k}}$, la somme étant finie et $x_{\text{}\underline{k}}\in V$. D’après 1.2.3, si l’on note $V_{0}$ le sous-${\mathcal{V}}$-module de $V$ des éléments de norme inférieure ou égale à $1$ et $U_{0}$ le sous-${\mathcal{V}}$-module de $D_{\mathfrak{X}^{\sharp }\leftarrow {\mathcal{Z}}^{\sharp }}^{(m)}(U)_{\mathbb{Q}}\otimes _{D_{{\mathcal{Z}}^{\sharp }}^{(m)}(U)_{\mathbb{Q}}}V$ engendré par l’image canonique de la flèche $D_{\mathfrak{X}^{\sharp }\leftarrow {\mathcal{Z}}^{\sharp }}^{(m)}(U)\times V_{0}\rightarrow D_{\mathfrak{X}^{\sharp }\leftarrow {\mathcal{Z}}^{\sharp }}^{(m)}(U)_{\mathbb{Q}}\otimes _{D_{{\mathcal{Z}}^{\sharp }}^{(m)}(U)_{\mathbb{Q}}}V$, alors une base de voisinage de $D_{\mathfrak{X}^{\sharp }\leftarrow {\mathcal{Z}}^{\sharp }}^{(m)}(U)_{\mathbb{Q}}\otimes _{D_{{\mathcal{Z}}^{\sharp }}^{(m)}(U)_{\mathbb{Q}}}V$ est donnée par la famille $(p^{n}U_{0})_{n\in \mathbb{N}}$. On en déduit que la topologie canonique sur $D_{\mathfrak{X}^{\sharp }\leftarrow {\mathcal{Z}}^{\sharp }}^{(m)}(U)_{\mathbb{Q}}\otimes _{D_{{\mathcal{Z}}^{\sharp }}^{(m)}(U)_{\mathbb{Q}}}V$ est induite par la norme $\Vert \!\sum _{\text{}\underline{k}\in \mathbb{N}^{e}}\unicode[STIX]{x1D709}_{\text{}\underline{k},(m)}\otimes x_{\text{}\underline{k}}\!\Vert =\max _{\text{}\underline{k}}\Vert \!x_{\text{}\underline{k}}\!\Vert$. On a la même description pour $V\text{sp}\prime$ ou $V\text{sp}\prime \prime$ à la place de $V$. On obtient alors la suite exacte courte de $K$-espaces normés

(9)$$\begin{eqnarray}\displaystyle & & \displaystyle 0\rightarrow D_{\mathfrak{X}^{\sharp }\leftarrow {\mathcal{Z}}^{\sharp }}^{(m)}(U)_{\mathbb{Q}}\otimes _{D_{{\mathcal{Z}}^{\sharp }}^{(m)}(U)_{\mathbb{Q}}}V\text{sp}\prime \rightarrow D_{\mathfrak{X}^{\sharp }\leftarrow {\mathcal{Z}}^{\sharp }}^{(m)}(U)_{\mathbb{ Q}}\otimes _{D_{{\mathcal{Z}}^{\sharp }}^{(m)}(U)_{\mathbb{Q}}}\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \qquad V\rightarrow D_{\mathfrak{X}^{\sharp }\leftarrow {\mathcal{Z}}^{\sharp }}^{(m)}(U)_{\mathbb{Q}}\otimes _{D_{{\mathcal{Z}}^{\sharp }}^{(m)}(U)_{\mathbb{Q}}}V\text{sp}\prime \prime \rightarrow 0,\end{eqnarray}$$

dont tous les morphismes sont stricts (pour celle de l’injection, c’est évident d’après la description de leur norme ; pour celle de la surjection, on peut par exemple invoquer 1.2.5 ou bien faire le calcul). Or, d’après la proposition 1.3.5, comme $V$ est un $\widetilde{D}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)}$-module de Banach, le morphisme canonique $D_{\mathfrak{X}^{\sharp }\leftarrow {\mathcal{Z}}^{\sharp }}^{(m)}(U)_{\mathbb{Q}}\widehat{\otimes }_{D_{{\mathcal{Z}}^{\sharp }}^{(m)}}(U)_{\mathbb{Q}}V\rightarrow \widetilde{D}_{\mathfrak{X}^{\sharp }\leftarrow {\mathcal{Z}}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)}\widehat{\otimes }_{\widetilde{D}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)}}V$ est un isomorphisme. Comme le foncteur de séparée complétion transforme les suites exactes courtes dont les applications sont des morphismes stricts de $K$-espaces normés en des suites exactes courtes dont les applications sont des morphismes stricts, on obtient la suite exacte

(10)$$\begin{eqnarray}0\rightarrow \widetilde{D}_{\mathfrak{X}^{\sharp }\leftarrow {\mathcal{Z}}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)}\widehat{\otimes }_{\widetilde{D}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)}}V\text{sp}\prime \rightarrow \widetilde{D}_{\mathfrak{X}^{\sharp }\leftarrow {\mathcal{Z}}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)}\widehat{\otimes }_{\widetilde{D}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)}}V\rightarrow \widetilde{D}_{\mathfrak{X}^{\sharp }\leftarrow {\mathcal{Z}}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)}\widehat{\otimes }_{\widetilde{D}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)}}V\text{sp}\prime \prime \rightarrow 0\end{eqnarray}$$

dont les morphismes sont stricts. Comme $\widetilde{D}_{\mathfrak{X}^{\sharp }\leftarrow {\mathcal{Z}}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)}$ est plat à gauche sur $\widetilde{D}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)}$, on dispose de la même suite exacte que 10 où l’on remplace $\widehat{\otimes }$ par $\otimes$. Le morphisme surjectif de cette dernière suite exacte est strict grâce à 1.2.5. Enfin, le caractère strict du morphisme injectif résulte quant à lui du fait qu’en le composant avec le monomorphisme strict $\widetilde{D}_{\mathfrak{X}^{\sharp }\leftarrow {\mathcal{Z}}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)}\otimes _{\widetilde{D}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)}}V\rightarrow \widetilde{D}_{\mathfrak{X}^{\sharp }\leftarrow {\mathcal{Z}}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)}\widehat{\otimes }_{\widetilde{D}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)}}V$, on obtienne encore un monomorphisme strict.

(2) En décomposant les suites exactes en suites exactes courtes, on obtient le résultat.

Démonstration.

Notons $\unicode[STIX]{x1D709}_{\text{}\underline{k},(m\text{sp}\prime )}$ l’image de $\text{}\underline{\unicode[STIX]{x2202}}^{{<}\text{}\underline{k}{>}_{(m\text{sp}\prime )}}$via la surjection canonique $D_{\mathfrak{X}^{\sharp }}^{(m\text{sp}\prime )}(U)_{\mathbb{Q}}{\twoheadrightarrow}D_{\mathfrak{X}^{\sharp }\leftarrow {\mathcal{Z}}^{\sharp }}^{(m\text{sp}\prime )}(U)_{\mathbb{Q}}$. D’après la preuve de 3.2.2, le $K$-espace de Banach $\widetilde{D}_{\mathfrak{X}^{\sharp }\leftarrow {\mathcal{Z}}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m\text{sp}\prime )}\widehat{\otimes }_{\widetilde{D}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m\text{sp}\prime )}}V\text{sp}\prime$ est le $K$-espace des éléments s’écrivant de manière unique sous la forme $\sum _{\text{}\underline{k}\in \mathbb{N}^{e}}\unicode[STIX]{x1D709}_{\text{}\underline{k},(m\text{sp}\prime )}\otimes x_{\text{}\underline{k}}$, la somme étant infinie mais la suite des éléments $x\text{sp}\prime _{\text{}\underline{k}}\in V\text{sp}\prime$ tendant vers zéro lorsque $|\text{}\underline{k}|$ tend vers l’infini. Comme $\unicode[STIX]{x1D709}_{\text{}\underline{k},(m)}=\unicode[STIX]{x1D706}_{\text{}\underline{k},(m,m\text{sp}\prime )}\unicode[STIX]{x1D709}_{\text{}\underline{k},(m\text{sp}\prime )}$, pour un certain $\unicode[STIX]{x1D706}_{\text{}\underline{k},(m,m\text{sp}\prime )}\in {\mathcal{V}}\setminus \{0\}$, on vérifie alors que le morphisme canonique $\widetilde{D}_{\mathfrak{X}^{\sharp }\leftarrow {\mathcal{Z}}^{\sharp }}^{(m)}(U)_{\mathbb{Q}}\widehat{\otimes }_{\widetilde{D}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)}}V\rightarrow \widetilde{D}_{\mathfrak{X}^{\sharp }\leftarrow {\mathcal{Z}}^{\sharp }}^{(m\text{sp}\prime )}(U)_{\mathbb{ Q}}\widehat{\otimes }_{\widetilde{D}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m\text{sp}\prime )}}V\text{sp}\prime$ envoie la somme $\sum _{\text{}\underline{k}\in \mathbb{N}^{e}}\unicode[STIX]{x1D709}_{\text{}\underline{k},(m)}\otimes x_{\text{}\underline{k}}$ sur $\sum _{\text{}\underline{k}\in \mathbb{N}^{e}}\unicode[STIX]{x1D709}_{\text{}\underline{k},(m\text{sp}\prime )}\otimes \unicode[STIX]{x1D706}_{\text{}\underline{k},(m,m\text{sp}\prime )}\unicode[STIX]{x1D719}(x_{\text{}\underline{k}})$. D’où le résultat.

Démonstration.

En munissant $W:=V/V\text{sp}\prime$ de la topologie quotient, on obtient le morphisme $\widetilde{D}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)}$-linéaire, injectif et continu $W{\hookrightarrow}V\text{sp}\prime \prime$. On en déduit que $W$ est un $\widetilde{D}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)}$-module de Banach, car il est un quotient séparé de $V$. On applique alors respectivement les lemmes 3.2.2 et 3.2.3 à la suite exacte $0\rightarrow V\text{sp}\prime \rightarrow V\rightarrow W\rightarrow 0$ et au monomorphisme $W\rightarrow V\text{sp}\prime \prime$.

3.2.5. Le module $\widetilde{D}_{\mathfrak{X}^{\sharp }\leftarrow {\mathcal{Z}}^{\sharp }}^{(m)}\otimes _{\widetilde{D}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp }}^{(m)}}\widetilde{D}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp }\rightarrow \mathfrak{X}^{\sharp }}^{(m)}$ est séparé pour la topologie $p$-adique. En effet, si $E$ est un sous-$\widetilde{D}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp }}^{(m)}$-module à gauche de type fini de $\widetilde{D}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp }\rightarrow \mathfrak{X}^{\sharp }}^{(m)}$, comme $\widetilde{D}_{\mathfrak{X}^{\sharp }\leftarrow {\mathcal{Z}}^{\sharp }}^{(m)}$ est le séparé complété $p$-adique d’un $\widetilde{D}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp }}^{(m)}$-module à droite libre, alors $\widetilde{D}_{\mathfrak{X}^{\sharp }\leftarrow {\mathcal{Z}}^{\sharp }}^{(m)}\otimes _{\widetilde{D}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp }}^{(m)}}E$ est séparé et complet pour la topologie $p$-adique (voir [Reference BerthelotBer96, 3.2.4]). On en déduit aussi que le morphisme canonique de la forme $\widetilde{D}_{\mathfrak{X}^{\sharp }\leftarrow {\mathcal{Z}}^{\sharp }}^{(m)}\otimes _{\widetilde{D}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp }}^{(m)}}E\rightarrow \widetilde{D}_{\mathfrak{X}^{\sharp }\leftarrow {\mathcal{Z}}^{\sharp }}^{(m)}\widehat{\otimes }_{\widetilde{D}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp }}^{(m)}}\widetilde{D}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp }\rightarrow \mathfrak{X}^{\sharp }}^{(m)}$ est un monomorphisme. En passant à la limite inductive sur $E$, on en déduit que le morphisme canonique $\widetilde{D}_{\mathfrak{X}^{\sharp }\leftarrow {\mathcal{Z}}^{\sharp }}^{(m)}\otimes _{\widetilde{D}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp }}^{(m)}}\widetilde{D}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp }\rightarrow \mathfrak{X}^{\sharp }}^{(m)}\rightarrow \widetilde{D}_{\mathfrak{ X}^{\sharp }\leftarrow {\mathcal{Z}}^{\sharp }}^{(m)}\widehat{\otimes }_{\widetilde{D}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp }}^{(m)}}\widetilde{D}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp }\rightarrow \mathfrak{X}^{\sharp }}^{(m)}$ est injectif.

On munit $\widetilde{D}_{\mathfrak{X}^{\sharp }\leftarrow {\mathcal{Z}}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)}\otimes _{\widetilde{D}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)}}\widetilde{D}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp }\rightarrow \mathfrak{X}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)}$ de la topologie produit tensoriel définie dans 1.2.2, i.e. d’après le lemme 1.2.3, c’est la topologie dont une base de voisinages de zéro est donnée par la famille $p^{n}\widetilde{D}_{\mathfrak{X}^{\sharp }\leftarrow {\mathcal{Z}}^{\sharp }}^{(m)}\otimes _{\widetilde{D}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp }}^{(m)}}\widetilde{D}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp }\rightarrow \mathfrak{X}^{\sharp }}^{(m)}$ avec $n$ parcourant $\mathbb{N}$. On munit naturellement $(\widetilde{D}_{\mathfrak{X}^{\sharp }\leftarrow {\mathcal{Z}}^{\sharp }}^{(m)}\widehat{\otimes }_{\widetilde{D}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp }}^{(m)}}\widetilde{D}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp }\rightarrow \mathfrak{X}^{\sharp }}^{(m)})_{\mathbb{ Q}}$ de la topologie dont une base de voisinages de zéro est donnée par la famille $p^{n}\widetilde{D}_{\mathfrak{X}^{\sharp }\leftarrow {\mathcal{Z}}^{\sharp }}^{(m)}\widehat{\otimes }_{\widetilde{D}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp }}^{(m)}}\widetilde{D}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp }\rightarrow \mathfrak{X}^{\sharp }}^{(m)}$ avec $n$ parcourant $\mathbb{N}$, ce qui en fait un $K$-espace de Banach. On obtient alors le monomorphisme strict de $K$-espaces normés

(12)$$\begin{eqnarray}\widetilde{D}_{\mathfrak{X}^{\sharp }\leftarrow {\mathcal{Z}}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)}\otimes _{\widetilde{D}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)}}\widetilde{D}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp }\rightarrow \mathfrak{X}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)}{\hookrightarrow}(\widetilde{D}_{\mathfrak{ X}^{\sharp }\leftarrow {\mathcal{Z}}^{\sharp }}^{(m)}\widehat{\otimes }_{\widetilde{D}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp }}^{(m)}}\widetilde{D}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp }\rightarrow \mathfrak{X}^{\sharp }}^{(m)})_{\mathbb{ Q}}.\end{eqnarray}$$

Par construction des séparées complétions de $K$-espaces localement connexes (par exemple voir la preuve de [Reference SchneiderSch02, 7.5]), on vérifie que le morphisme 12 se factorise en l’isomorphisme canonique (indépendant des coordonnées locales) de $K$-espaces de Banach :

(13)$$\begin{eqnarray}\widetilde{D}_{\mathfrak{X}^{\sharp }\leftarrow {\mathcal{Z}}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)}\widehat{\otimes }_{\widetilde{D}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)}}\widetilde{D}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp }\rightarrow \mathfrak{X}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)}\overset{{\sim}}{\longrightarrow }\,(\widetilde{D}_{\mathfrak{ X}^{\sharp }\leftarrow {\mathcal{Z}}^{\sharp }}^{(m)}\widehat{\otimes }_{\widetilde{D}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp }}^{(m)}}\widetilde{D}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp }\rightarrow \mathfrak{X}^{\sharp }}^{(m)})_{\mathbb{ Q}}.\end{eqnarray}$$

3.3.1. (Rappels.) On rappelle que d’après [Reference CaroCar16, 5.3.8], les foncteurs $\mathbb{R}\text{}\underline{\unicode[STIX]{x1D6E4}}_{Z}^{\dagger }$ et $u_{+}^{\sharp (\bullet )}\circ u^{\sharp (\bullet )!}:\underset{\displaystyle \longrightarrow }{LD}\text{}_{\mathbb{Q},\text{qc}}^{\text{b}}(\widetilde{{\mathcal{D}}}_{\mathfrak{X}^{\sharp }}^{(\bullet )})\rightarrow \underset{\displaystyle \longrightarrow }{LD}\text{}_{\mathbb{Q},\text{qc}}^{\text{b}}(\widetilde{{\mathcal{D}}}_{\mathfrak{X}^{\sharp }}^{(\bullet )})$ sont isomorphes. On dispose aussi du foncteur $\mathbb{R}\text{}\underline{\unicode[STIX]{x1D6E4}}_{Z}^{\dagger }:D_{\text{coh}}^{\text{b}}({\mathcal{D}}_{\mathfrak{X}^{\sharp }}^{\dagger }(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{Q}})\rightarrow D^{\text{b}}({\mathcal{D}}_{\mathfrak{X}^{\sharp }}^{\dagger }(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{Q}})$ défini de telle sorte que l’on ait l’isomorphisme de foncteurs $\mathbb{R}\text{}\underline{\unicode[STIX]{x1D6E4}}_{Z}^{\dagger }\circ \varinjlim \overset{{\sim}}{\longrightarrow }\,\varinjlim \circ \mathbb{R}\text{}\underline{\unicode[STIX]{x1D6E4}}_{Z}^{\dagger }:\underset{\displaystyle \longrightarrow }{LD}\text{}_{\mathbb{Q},\text{coh}}^{\text{b}}(\widetilde{{\mathcal{D}}}_{\mathfrak{X}^{\sharp }}^{(\bullet )})\rightarrow D^{\text{b}}({\mathcal{D}}_{\mathfrak{X}^{\sharp }}^{\dagger }(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{Q}})$, où $\varinjlim$ désigne le foncteur canonique $\varinjlim :\underset{\displaystyle \longrightarrow }{LD}\text{}_{\mathbb{Q},\text{qc}}^{\text{b}}(\widetilde{{\mathcal{D}}}_{\mathfrak{X}^{\sharp }}^{(\bullet )})\rightarrow D^{\text{b}}({\mathcal{D}}_{\mathfrak{X}^{\sharp }}^{\dagger }(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{Q}})$ qui induit l’équivalence de catégories

$$\begin{eqnarray}\varinjlim :\underset{\displaystyle \longrightarrow }{LD}\text{}_{\mathbb{Q},\text{coh}}^{\text{b}}(\widetilde{{\mathcal{D}}}_{\mathfrak{X}^{\sharp }}^{(\bullet )})\cong D_{\text{coh}}^{\text{b}}({\mathcal{D}}_{\mathfrak{ X}^{\sharp }}^{\dagger }(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{ Q}})\end{eqnarray}$$

(voir [Reference CaroCar16, 2] ou [Reference BerthelotBer02, 4.2.4] énoncé sans structure logarithmique). Si le besoin de distinguer les deux foncteurs $\mathbb{R}\text{}\underline{\unicode[STIX]{x1D6E4}}_{Z}^{\dagger }$ se fait sentir, on notera alors dans ce cas $\mathbb{R}\text{}\underline{\unicode[STIX]{x1D6E4}}_{Z}^{(\bullet )}:\underset{\displaystyle \longrightarrow }{LD}\text{}_{\mathbb{Q},\text{qc}}^{\text{b}}(\widetilde{{\mathcal{D}}}_{\mathfrak{X}^{\sharp }}^{(\bullet )})\rightarrow \underset{\displaystyle \longrightarrow }{LD}\text{}_{\mathbb{Q},\text{qc}}^{\text{b}}(\widetilde{{\mathcal{D}}}_{\mathfrak{X}^{\sharp }}^{(\bullet )})$. Enfin, pour tout $n\in \mathbb{N}$, on note ${\mathcal{H}}_{Z}^{\dagger n}:={\mathcal{H}}^{n}\circ \mathbb{R}\text{}\underline{\unicode[STIX]{x1D6E4}}_{Z}^{\dagger }:D_{\text{coh}}^{\text{b}}({\mathcal{D}}_{\mathfrak{X}^{\sharp }}^{\dagger }(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{Q}})\rightarrow M({\mathcal{D}}_{\mathfrak{X}^{\sharp }}^{\dagger }(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{Q}})$, où $M({\mathcal{D}}_{\mathfrak{X}^{\sharp }}^{\dagger }(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{Q}})$ désigne la catégorie des ${\mathcal{D}}_{\mathfrak{X}^{\sharp }}^{\dagger }(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{Q}}$-modules à gauche.

Démonstration.

Modulo l’isomorphisme $\mathbb{R}\text{}\underline{\unicode[STIX]{x1D6E4}}_{Z}^{(\bullet )}\overset{{\sim}}{\longrightarrow }\,u_{+}^{\sharp (\bullet )}\circ u^{\sharp (\bullet )!}$, c’est une reformulation des versions arithmétiques de Berthelot du théorème de Kashiwara de [Reference CaroCar16, 5.3.7] et [Reference CaroCar16, A.8].

Démonstration.

Via le triangle de localisation de ${\mathcal{E}}$ par rapport à $Y$, il s’agit d’établir ${\mathcal{H}}^{-1}({\mathcal{E}}(\text{}^{\dagger }Y))=0$. Lorsque $Y$ est un diviseur, cela résulte de l’exactitude du foncteur $(\text{}^{\dagger }Y)$ sur la catégorie des ${\mathcal{D}}_{\mathfrak{X}^{\sharp }}^{\dagger }(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{Q}}$-modules cohérents. On en déduit le cas général via les triangles distingués de Mayer-Vietoris (voir [Reference CaroCar16, 4.4.5]) en procédant par récurrence sur le nombre minimal de diviseurs dont l’intersection donne $Y$.

Démonstration.

(1) Supposons que ${\mathcal{H}}^{0}u^{\sharp !}({\mathcal{E}})$ soit un ${\mathcal{D}}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp }}^{\dagger }(\text{}^{\dagger }U)_{\mathbb{Q}}$-module cohérent. On dispose alors du morphisme canonique de ${\mathcal{D}}_{\mathfrak{X}^{\sharp }}^{\dagger }(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{Q}}$-modules cohérents de la forme $\unicode[STIX]{x1D719}:u_{+}^{\sharp }{\mathcal{H}}^{0}u^{\sharp !}({\mathcal{E}})\rightarrow {\mathcal{E}}$. Comme le noyau de $\unicode[STIX]{x1D719}$ est un ${\mathcal{D}}_{\mathfrak{X}^{\sharp }}^{\dagger }(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{Q}}$-module cohérent à support dans $Z$, comme ${\mathcal{H}}^{0}u^{\sharp !}$ est exact à gauche (sur la catégorie des ${\mathcal{D}}_{\mathfrak{X}^{\sharp }}^{\dagger }(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{Q}}$-modules cohérents) et comme le noyau de ${\mathcal{H}}^{0}u^{\sharp !}(\unicode[STIX]{x1D719})$ est nul, on déduit alors du théorème de Berthelot-Kashiwara (voir la première partie de 3.3.2) que $\unicode[STIX]{x1D719}$ est injectif.

Comme le morphisme canonique ${\mathcal{H}}_{Z}^{\dagger 0}(u_{+}^{\sharp }{\mathcal{H}}^{0}u^{\sharp !}({\mathcal{E}}))\rightarrow u_{+}^{\sharp }{\mathcal{H}}^{0}u^{\sharp !}({\mathcal{E}})$ est un isomorphisme (voir la seconde partie de 3.3.2), on en déduit que l’injection canonique $u_{+}^{\sharp }{\mathcal{H}}^{0}u^{\sharp !}({\mathcal{E}}){\hookrightarrow}{\mathcal{E}}$ se factorise par les inclusions $u_{+}^{\sharp }{\mathcal{H}}^{0}u^{\sharp !}({\mathcal{E}}){\hookrightarrow}{\mathcal{H}}_{Z}^{\dagger 0}({\mathcal{E}}){\hookrightarrow}{\mathcal{E}}$ (la seconde flèche est bien injective grâce à 3.3.3). Par l’absurde, l’inclusion $u_{+}^{\sharp }{\mathcal{H}}^{0}u^{\sharp !}({\mathcal{E}}){\hookrightarrow}{\mathcal{H}}_{Z}^{\dagger 0}({\mathcal{E}})$ n’est pas un isomorphisme. Dans ce cas, il existe un ouvert affine $\mathfrak{U}$ de $\mathfrak{X}$, une section $s$ sur $\mathfrak{U}$ de ${\mathcal{H}}_{Z}^{\dagger 0}({\mathcal{E}})$ qui n’est pas une section sur $\mathfrak{U}$ de $u_{+}^{\sharp }{\mathcal{H}}^{0}u^{\sharp !}({\mathcal{E}})$. Soit ${\mathcal{G}}$ le sous-${\mathcal{D}}_{\mathfrak{U}^{\sharp }}^{\dagger }(\text{}^{\dagger }T\cap U)_{\mathbb{Q}}$-module de ${\mathcal{H}}_{Z}^{\dagger 0}({\mathcal{E}})|\mathfrak{U}$ engendré par $u_{+}^{\sharp }{\mathcal{H}}^{0}u^{\sharp !}({\mathcal{E}})|\mathfrak{U}$ et par la section $s$. Comme le faisceau associé à un sous-préfaisceau d’un faisceau contient le sous-préfaisceau, ${\mathcal{G}}$ contient strictement $u_{+}^{\sharp }{\mathcal{H}}^{0}u^{\sharp !}({\mathcal{E}})|\mathfrak{U}$. De plus, ${\mathcal{G}}$ est à support dans $\mathfrak{U}\cap Z$ car ${\mathcal{H}}_{Z}^{\dagger 0}({\mathcal{E}})|\mathfrak{U}$ l’est. Comme ${\mathcal{G}}$ est un sous-${\mathcal{D}}_{\mathfrak{U}^{\sharp }}^{\dagger }(\text{}^{\dagger }T\cap U)_{\mathbb{Q}}$-module de type fini du ${\mathcal{D}}_{\mathfrak{U}^{\sharp }}^{\dagger }(\text{}^{\dagger }T\cap U)_{\mathbb{Q}}$-module cohérent ${\mathcal{E}}|\mathfrak{U}$, ${\mathcal{G}}$ est alors un sous-${\mathcal{D}}_{\mathfrak{U}^{\sharp }}^{\dagger }(\text{}^{\dagger }T\cap U)_{\mathbb{Q}}$-module cohérent. Or, en appliquant le foncteur exact à gauche ${\mathcal{H}}^{0}u^{\sharp !}$ aux inclusions $u_{+}^{\sharp }{\mathcal{H}}^{0}u^{\sharp !}({\mathcal{E}})|\mathfrak{U}{\hookrightarrow}{\mathcal{G}}{\hookrightarrow}{\mathcal{E}}|\mathfrak{U}$, on obtient les isomorphismes ${\mathcal{H}}^{0}u^{\sharp !}({\mathcal{E}})|\mathfrak{U}\overset{{\sim}}{\longrightarrow }\,{\mathcal{H}}^{0}u^{\sharp !}({\mathcal{G}})|\mathfrak{U}\overset{{\sim}}{\longrightarrow }\,{\mathcal{H}}^{0}u^{\sharp !}({\mathcal{E}})|\mathfrak{U}$. Via le théorème de Berthelot-Kashiwara, le premier de ces deux isomorphismes entraîne alors que $u_{+}^{\sharp }{\mathcal{H}}^{0}u^{\sharp !}({\mathcal{E}})|\mathfrak{U}\overset{{\sim}}{\longrightarrow }\,{\mathcal{G}}$, ce qui est une contradiction.

(2) Supposons que ${\mathcal{H}}_{Z}^{\dagger 0}({\mathcal{E}})$ soit ${\mathcal{D}}_{\mathfrak{X}^{\sharp }}^{\dagger }(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{Q}}$-cohérent. Si ${\mathcal{G}}$ est un ${\mathcal{D}}_{\mathfrak{X}^{\sharp }}^{\dagger }(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{Q}}$-module cohérent, on obtient les isomorphismes $u^{\sharp !}({\mathcal{G}})\overset{{\sim}}{\longrightarrow }\,\mathbb{L}u^{\ast }({\mathcal{G}})[d_{Z/X}]\overset{{\sim}}{\longrightarrow }\,\mathbb{R}{\mathcal{H}}om_{{\mathcal{O}}_{\mathfrak{X}}}({\mathcal{O}}_{{\mathcal{Z}}},\unicode[STIX]{x1D714}_{{\mathcal{Z}}/\mathfrak{X}}\otimes _{{\mathcal{O}}_{\mathfrak{X}}}{\mathcal{G}})$. Si $Z_{1}$ est un diviseur de $X$ contenant $Z$, on calcule que ${\mathcal{H}}om_{{\mathcal{O}}_{\mathfrak{X}}}({\mathcal{O}}_{{\mathcal{Z}}},\unicode[STIX]{x1D714}_{{\mathcal{Z}}/\mathfrak{X}}\otimes _{{\mathcal{O}}_{\mathfrak{X}}}{\mathcal{E}}(\text{}^{\dagger }Z_{1}))=0$. Via des suites spectrales de Mayer-Vietoris, on en déduit, par récurrence sur le nombre de diviseurs dont l’intersection est égale à $Z$, l’annulation ${\mathcal{H}}om_{{\mathcal{O}}_{\mathfrak{X}}}({\mathcal{O}}_{{\mathcal{Z}}},\unicode[STIX]{x1D714}_{{\mathcal{Z}}/\mathfrak{X}}\otimes _{{\mathcal{O}}_{\mathfrak{X}}}{\mathcal{H}}^{0}({\mathcal{E}}(\text{}^{\dagger }Z)))={\mathcal{H}}^{0}\left(\mathbb{R}{\mathcal{H}}om_{{\mathcal{O}}_{\mathfrak{X}}}({\mathcal{O}}_{{\mathcal{Z}}},\unicode[STIX]{x1D714}_{{\mathcal{Z}}/\mathfrak{X}}\otimes _{{\mathcal{O}}_{\mathfrak{X}}}{\mathcal{E}}(\text{}^{\dagger }Z))\right)=0.$ En appliquant à la suite exacte $0\rightarrow {\mathcal{H}}_{Z}^{\dagger 0}({\mathcal{E}})\rightarrow {\mathcal{E}}\rightarrow {\mathcal{H}}^{0}({\mathcal{E}}(\text{}^{\dagger }Z))$ le foncteur ${\mathcal{H}}om_{{\mathcal{O}}_{\mathfrak{X}}}({\mathcal{O}}_{{\mathcal{Z}}},\unicode[STIX]{x1D714}_{{\mathcal{Z}}/\mathfrak{X}}\otimes _{{\mathcal{O}}_{\mathfrak{X}}}-)$, on en déduit que le morphisme canonique ${\mathcal{H}}^{0}u^{\sharp !}{\mathcal{H}}_{Z}^{\dagger 0}({\mathcal{E}})\rightarrow {\mathcal{H}}^{0}u^{\sharp !}({\mathcal{E}})$ est un isomorphisme. Via la première partie de 3.3.2, on en déduit l’isomorphisme $u_{+}^{\sharp }{\mathcal{H}}^{0}u^{\sharp !}({\mathcal{E}})\overset{{\sim}}{\longrightarrow }\,{\mathcal{H}}_{Z}^{\dagger 0}({\mathcal{E}})$.

Notations 3.4.1. Soit $\mathfrak{B}$ la base de voisinages de $\mathfrak{X}$ des ouverts affines et munis de coordonnées locales. Pour tout $\mathfrak{U}\in \mathfrak{B}$, on note $\mathfrak{U}^{\sharp }:=(\mathfrak{U},\mathfrak{U}\cap \mathfrak{D})$.

• ∙ On note $\widetilde{{\mathcal{D}}}_{\mathfrak{X}^{\sharp }\leftarrow {\mathcal{Z}}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)}\widehat{\otimes }_{\widetilde{{\mathcal{D}}}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)}}\widetilde{{\mathcal{D}}}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp }\rightarrow \mathfrak{X}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)}$ le faisceau (d’ensemble) sur $\mathfrak{X}$ associé au préfaisceau sur $\mathfrak{B}$ définie de la manière suivante $\mathfrak{U}\in \mathfrak{B}\mapsto \widetilde{D}_{\mathfrak{U}^{\sharp }\leftarrow {\mathcal{Z}}^{\sharp }\cap \mathfrak{U}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)}\widehat{\otimes }_{\widetilde{D}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp }\cap \mathfrak{U}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)}}\widetilde{D}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp }\cap \mathfrak{U}^{\sharp }\rightarrow \mathfrak{U}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)}$, les morphismes de restriction étant les morphismes canoniques (la séparée complétion est un foncteur).

• ∙ Comme les morphismes canoniques

  $$\begin{eqnarray}\widetilde{D}_{\mathfrak{U}^{\sharp }\leftarrow {\mathcal{Z}}^{\sharp }\cap \mathfrak{U}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)}\otimes _{\widetilde{D}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp }\cap \mathfrak{U}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)}}\widetilde{D}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp }\cap \mathfrak{U}^{\sharp }\rightarrow \mathfrak{U}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)}\rightarrow \widetilde{D}_{\mathfrak{ U}^{\sharp }\leftarrow {\mathcal{Z}}^{\sharp }\cap \mathfrak{U}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)}\widehat{\otimes }_{\widetilde{D}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp }\cap \mathfrak{U}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)}}\widetilde{D}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp }\cap \mathfrak{U}^{\sharp }\rightarrow \mathfrak{U}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)}\end{eqnarray}$$
  sont fonctoriels en $\mathfrak{U}$, on obtient donc le morphisme canonique de faisceaux :
  (14)$$\begin{eqnarray}\widetilde{{\mathcal{D}}}_{\mathfrak{X}^{\sharp }\leftarrow {\mathcal{Z}}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)}\otimes _{\widetilde{{\mathcal{D}}}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)}}\widetilde{{\mathcal{D}}}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp }\rightarrow \mathfrak{X}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)}\rightarrow \widetilde{{\mathcal{D}}}_{\mathfrak{ X}^{\sharp }\leftarrow {\mathcal{Z}}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)}\widehat{\otimes }_{\widetilde{{\mathcal{D}}}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)}}\widetilde{{\mathcal{D}}}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp }\rightarrow \mathfrak{X}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)}.\end{eqnarray}$$

• ∙ Soit $\unicode[STIX]{x1D6FC}^{(m)}:(\widetilde{{\mathcal{D}}}_{\mathfrak{X}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)})^{r}\rightarrow (\widetilde{{\mathcal{D}}}_{\mathfrak{X}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)})^{s}$ un morphisme $\widetilde{{\mathcal{D}}}_{\mathfrak{X}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)}$-linéaire à gauche. En utilisant la fonctorialité en $\mathfrak{U}$ des morphismes $\text{id}\widehat{\otimes }\unicode[STIX]{x1D6E4}(\mathfrak{U}\cap {\mathcal{Z}},u^{\ast }(\unicode[STIX]{x1D6FC}^{(m)})):\widetilde{D}_{\mathfrak{U}^{\sharp }\leftarrow {\mathcal{Z}}^{\sharp }\cap \mathfrak{U}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)}\widehat{\otimes }_{\widetilde{D}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp }\cap \mathfrak{U}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)}}(\widetilde{D}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp }\cap \mathfrak{U}^{\sharp }\rightarrow \mathfrak{U}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)})^{r}\rightarrow \widetilde{D}_{\mathfrak{ U}^{\sharp }\leftarrow {\mathcal{Z}}^{\sharp }\cap \mathfrak{U}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)}\widehat{\otimes }_{\widetilde{D}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp }\cap \mathfrak{U}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)}}(\widetilde{D}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp }\cap \mathfrak{U}^{\sharp }\rightarrow \mathfrak{U}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)})^{s}$ , on obtient le morphisme de faisceaux :

  (15)$$\begin{eqnarray}\displaystyle & & \displaystyle \text{id}\widehat{\otimes }u^{\ast }(\unicode[STIX]{x1D6FC}^{(m)}):\widetilde{{\mathcal{D}}}_{\mathfrak{X}^{\sharp }\leftarrow {\mathcal{Z}}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)}\widehat{\otimes }_{\widetilde{{\mathcal{D}}}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)}}(\widetilde{{\mathcal{D}}}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp }\rightarrow \mathfrak{X}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)})^{r}\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad \rightarrow \widetilde{{\mathcal{D}}}_{\mathfrak{X}^{\sharp }\leftarrow {\mathcal{Z}}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)}\widehat{\otimes }_{\widetilde{{\mathcal{D}}}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)}}(\widetilde{{\mathcal{D}}}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp }\rightarrow \mathfrak{X}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)})^{s}.\end{eqnarray}$$

Démonstration.

Soit $\mathfrak{U}\in \mathfrak{B}$. Pour tout entier positif $i$, on note $X_{i}$, $X_{i}^{\sharp }$, $Z_{i}$, $Z_{i}^{\sharp }$, $U_{i}$ et $U_{i}^{\sharp }$ les réductions modulo $\unicode[STIX]{x1D70B}^{i+1}$ de $\mathfrak{X}$, $\mathfrak{X}^{\sharp }$, ${\mathcal{Z}}$, ${\mathcal{Z}}^{\sharp }$, $\mathfrak{U}$ et $\mathfrak{U}^{\sharp }$ respectivement. On dispose des ${\mathcal{B}}_{Z_{i}\cap U_{i}}^{(m)}(T\cap Z_{i}\cap U_{i})$-modules quasi cohérents $\widetilde{{\mathcal{D}}}_{U_{i}^{\sharp }\leftarrow Z_{i}^{\sharp }\cap U_{i}^{\sharp }}^{(m)}:=\widetilde{{\mathcal{D}}}_{\mathfrak{U}^{\sharp }\leftarrow {\mathcal{Z}}^{\sharp }\cap \mathfrak{U}^{\sharp }}^{(m)}\otimes _{{\mathcal{V}}}{\mathcal{V}}/\unicode[STIX]{x1D70B}^{i+1}$, $\widetilde{{\mathcal{D}}}_{Z_{i}^{\sharp }\cap U_{i}^{\sharp }}^{(m)}:=\widetilde{{\mathcal{D}}}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp }\cap \mathfrak{U}^{\sharp }}^{(m)}\otimes _{{\mathcal{V}}}{\mathcal{V}}/\unicode[STIX]{x1D70B}^{i+1}$ et enfin $\widetilde{{\mathcal{D}}}_{Z_{i}^{\sharp }\cap U_{i}^{\sharp }\rightarrow U_{i}^{\sharp }}^{(m)}:=\widetilde{{\mathcal{D}}}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp }\cap \mathfrak{U}^{\sharp }\rightarrow \mathfrak{U}^{\sharp }}^{(m)}\otimes _{{\mathcal{V}}}{\mathcal{V}}/\unicode[STIX]{x1D70B}^{i+1}$. Comme le foncteur sections globales commute aux limites projectives et par quasi-cohérence de nos faisceaux sur $X_{i}$, on obtient les isomorphismes canoniques

(18)$$\begin{eqnarray}\displaystyle & & \displaystyle \unicode[STIX]{x1D6E4}(\mathfrak{U},\widetilde{{\mathcal{D}}}_{\mathfrak{X}^{\sharp }\leftarrow {\mathcal{Z}}^{\sharp }}^{(m)}\widehat{\otimes }_{\widetilde{{\mathcal{D}}}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp }}^{(m)}}\widetilde{{\mathcal{D}}}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp }\rightarrow \mathfrak{X}^{\sharp }}^{(m)})=\unicode[STIX]{x1D6E4}(\mathfrak{U},\widetilde{{\mathcal{D}}}_{\mathfrak{ U}^{\sharp }\leftarrow {\mathcal{Z}}^{\sharp }\cap \mathfrak{U}^{\sharp }}^{(m)}\widehat{\otimes }_{\widetilde{{\mathcal{D}}}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp }\cap \mathfrak{U}^{\sharp }}^{(m)}}\widetilde{{\mathcal{D}}}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp }\cap \mathfrak{U}^{\sharp }\rightarrow \mathfrak{U}^{\sharp }}^{(m)})\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \qquad \overset{{\sim}}{\longrightarrow }\,\mathop{\varprojlim }\nolimits_{i}\unicode[STIX]{x1D6E4}(U_{i},\widetilde{{\mathcal{D}}}_{U_{i}^{\sharp }\leftarrow Z_{i}^{\sharp }\cap U_{i}^{\sharp }}^{(m)}\otimes _{\widetilde{{\mathcal{D}}}_{Z_{i}^{\sharp }\cap U_{i}^{\sharp }}^{(m)}}\widetilde{{\mathcal{D}}}_{Z_{i}^{\sharp }\cap U_{i}^{\sharp }\rightarrow U_{i}^{\sharp }}^{(m)})\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \qquad \overset{{\sim}}{\longrightarrow }\,\mathop{\varprojlim }\nolimits_{i}\widetilde{D}_{U_{i}^{\sharp }\leftarrow Z_{i}^{\sharp }\cap U_{i}^{\sharp }}^{(m)}\otimes _{\widetilde{D}_{Z_{i}^{\sharp }\cap U_{i}^{\sharp }}^{(m)}}\widetilde{D}_{Z_{i}^{\sharp }\cap U_{i}^{\sharp }\rightarrow U_{i}^{\sharp }}^{(m)}\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \qquad \overset{{\sim}}{\longrightarrow }\,\widetilde{D}_{\mathfrak{U}^{\sharp }\leftarrow {\mathcal{Z}}^{\sharp }\cap \mathfrak{U}^{\sharp }}^{(m)}\widehat{\otimes }_{\widetilde{D}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp }\cap \mathfrak{U}^{\sharp }}^{(m)}}\widetilde{D}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp }\cap \mathfrak{U}^{\sharp }\rightarrow \mathfrak{U}^{\sharp }}^{(m)}.\end{eqnarray}$$

Or, pour tout $\mathfrak{U}\in \mathfrak{B}$, le foncteur $\unicode[STIX]{x1D6E4}(\mathfrak{U},-)$ commute au produit tensoriel par $\mathbb{Q}$. On en déduit alors que le faisceau $(\widetilde{{\mathcal{D}}}_{\mathfrak{X}^{\sharp }\leftarrow {\mathcal{Z}}^{\sharp }}^{(m)}\widehat{\otimes }_{\widetilde{{\mathcal{D}}}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp }}^{(m)}}\widetilde{{\mathcal{D}}}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp }\rightarrow \mathfrak{X}^{\sharp }}^{(m)})_{\mathbb{ Q}}$ sur $\mathfrak{X}$ est associé au faisceau sur $\mathfrak{B}$ défini par $\mathfrak{U}\in \mathfrak{B}\mapsto (\widetilde{D}_{\mathfrak{U}^{\sharp }\leftarrow {\mathcal{Z}}^{\sharp }\cap \mathfrak{U}^{\sharp }}^{(m)}\widehat{\otimes }_{\widetilde{D}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp }\cap \mathfrak{U}^{\sharp }}^{(m)}}\widetilde{D}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp }\cap \mathfrak{U}^{\sharp }\rightarrow \mathfrak{U}^{\sharp }}^{(m)})_{\mathbb{ Q}}$. Les isomorphismes canoniques (13) nous permettent de conclure le premier point. La seconde assertion se vérifie de même facilement.

Remarque 3.4.3. Avec les notations de 3.4.1, le faisceau sur $\mathfrak{B}$ en $K$-espaces vectoriels $\widetilde{{\mathcal{D}}}_{\mathfrak{X}^{\sharp }\leftarrow {\mathcal{Z}}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)}\widehat{\otimes }_{\widetilde{{\mathcal{D}}}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)}}\widetilde{{\mathcal{D}}}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp }\rightarrow \mathfrak{X}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)}$ est aussi un faisceau sur $\mathfrak{B}$ à valeur dans la catégorie des $K$-espaces topologiques (on vérifie que les morphismes de restriction sont injectifs et stricts).

Démonstration.

Quitte à multiplier $\unicode[STIX]{x1D6FC}^{(m_{0})}$ par une puissance de $p$ assez grande, on peut supposer que $\unicode[STIX]{x1D6FC}^{(m_{0})}$ provient par extension d’un morphisme $\widetilde{{\mathcal{D}}}_{\mathfrak{X}^{\sharp }}^{(m_{0})}$-linéaire à gauche de la forme $\unicode[STIX]{x1D716}^{(m_{0})}:(\widetilde{{\mathcal{D}}}_{\mathfrak{X}^{\sharp }}^{(m_{0})})^{r}\rightarrow (\widetilde{{\mathcal{D}}}_{\mathfrak{ X}^{\sharp }}^{(m_{0})})^{s}$. Notons $\unicode[STIX]{x1D716}^{(m)}:(\widetilde{{\mathcal{D}}}_{\mathfrak{X}^{\sharp }}^{(m)})^{r}\rightarrow (\widetilde{{\mathcal{D}}}_{\mathfrak{X}^{\sharp }}^{(m)})^{s}$ les morphismes induits par extension. On obtient ainsi le foncteur dans $\underset{\displaystyle \longrightarrow }{LD}\text{}_{\mathbb{Q},\text{coh}}^{\text{b}}(\widetilde{{\mathcal{D}}}_{\mathfrak{X}^{\sharp }}^{(\bullet )})$ de la forme

$$\begin{eqnarray}\unicode[STIX]{x1D716}^{(\bullet +m_{0})}:(\widetilde{{\mathcal{D}}}_{\mathfrak{ X}^{\sharp }}^{(\bullet +m_{0})})^{r}\rightarrow (\widetilde{{\mathcal{D}}}_{\mathfrak{ X}^{\sharp }}^{(\bullet +m_{0})})^{s}.\end{eqnarray}$$

Or,

$$\begin{eqnarray}\displaystyle & & \displaystyle \varinjlim \circ u_{+}^{\sharp (\bullet )}\circ u^{\ast }(\unicode[STIX]{x1D716}^{(\bullet +m_{0})}):\mathop{\varinjlim }\nolimits_{m}\,\left(\widetilde{{\mathcal{D}}}_{\mathfrak{X}^{\sharp }\leftarrow {\mathcal{Z}}^{\sharp }}^{(m)}\widehat{\otimes }_{\widetilde{{\mathcal{D}}}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp }}^{(m)}}(\widetilde{{\mathcal{D}}}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp }\rightarrow \mathfrak{X}^{\sharp }}^{(m)})^{r}\right)_{\mathbb{Q}}\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \qquad \rightarrow \mathop{\varinjlim }\nolimits_{m}\,\left(\widetilde{{\mathcal{D}}}_{\mathfrak{X}^{\sharp }\leftarrow {\mathcal{Z}}^{\sharp }}^{(m)}\widehat{\otimes }_{\widetilde{{\mathcal{D}}}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp }}^{(m)}}(\widetilde{{\mathcal{D}}}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp }\rightarrow \mathfrak{X}^{\sharp }}^{(m)})^{s}\right)_{\mathbb{Q}}.\nonumber\end{eqnarray}$$

De plus, comme par définition $\varinjlim =\mathop{\varinjlim }\nolimits_{m}\circ (\mathbb{Q}\otimes _{\mathbb{Z}}-)$, en appliquant le foncteur $\mathop{\varinjlim }\nolimits_{m}$ au carré commutatif (17), on obtient que $\varinjlim \circ u_{+}^{\sharp (\bullet )}\circ u^{\ast }(\unicode[STIX]{x1D716}^{(\bullet +m_{0})})$ et $\mathop{\varinjlim }\nolimits_{m}(\text{id}\widehat{\otimes }u^{\ast }\unicode[STIX]{x1D6FC}^{(m)})$ sont canoniquement isomorphes. Comme par définition $\mathbb{R}\text{}\underline{\unicode[STIX]{x1D6E4}}_{Z}^{\dagger }(\unicode[STIX]{x1D6FC})=\varinjlim \circ \mathbb{R}\text{}\underline{\unicode[STIX]{x1D6E4}}_{Z}^{\dagger }(\unicode[STIX]{x1D716}^{(\bullet +m_{0})})$, comme les deux foncteurs $\mathbb{R}\text{}\underline{\unicode[STIX]{x1D6E4}}_{Z}^{\dagger }$ et $u_{+}^{\sharp (\bullet )}\circ u^{\sharp (\bullet )!}$ sont isomorphes et comme $u^{\ast }=u^{\sharp (\bullet )!}[e]$, on en déduit alors le résultat.

Remarque 3.4.5. Avec les notations de 3.4.4, supposons $\mathfrak{X}$ affine. Soit $E^{(m_{0})}$ un $\widetilde{D}_{\mathfrak{X}^{\sharp }}^{(m_{0})}$-module cohérent sans $p$-torsion, ${\mathcal{E}}^{(\bullet )}:=\widetilde{{\mathcal{D}}}_{\mathfrak{X}^{\sharp }}^{(\bullet +m_{0})}\otimes _{\widetilde{D}_{\mathfrak{X}^{\sharp }}^{(m_{0})}}E^{(m_{0})}$ le $\widetilde{{\mathcal{D}}}_{\mathfrak{X}^{\sharp }}^{(\bullet +m_{0})}$-module localement de présentation finie associé et ${\mathcal{E}}:=\varinjlim ({\mathcal{E}}^{\bullet })$ le ${\mathcal{D}}_{\mathfrak{X}^{\sharp }}^{\dagger }(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{Q}}$-module cohérent associé. En prenant une résolution de $E^{(m_{0})}$ par des $\widetilde{D}_{\mathfrak{X}^{\sharp }}^{(m_{0})}$-modules libres de type fini qui induit, après application du foncteur $\widetilde{{\mathcal{D}}}_{\mathfrak{X}^{\sharp }}^{(\bullet +m_{0})}\otimes _{\widetilde{D}_{\mathfrak{X}^{\sharp }}^{(m_{0})}}-$, une résolution de ${\mathcal{E}}^{(\bullet )}$ par des $\widetilde{{\mathcal{D}}}_{\mathfrak{X}^{\sharp }}^{(\bullet +m_{0})}$-modules libres de type fini, on vérifie que le complexe $\mathbb{R}\text{}\underline{\unicode[STIX]{x1D6E4}}_{Z}^{\dagger }({\mathcal{E}})$ est isomorphe à un complexe dont les termes sont de la forme ${\mathcal{H}}_{Z}^{\dagger e}(({\mathcal{D}}_{\mathfrak{X}^{\sharp }}^{\dagger }(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{Q}})^{N})$ pour certains entiers $N$.

Démonstration.

(0) Hypothèses 1 : passage aux sections globales, quelques notations.

Comme la ${\mathcal{D}}_{\mathfrak{X}^{\sharp }}^{\dagger }(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{Q}}$-cohérence de ${\mathcal{H}}_{Z}^{\dagger e}({\mathcal{E}})$ est locale, on peut reprendre les notations et hypothèses du chapitre 2. Dans ce cas, posons $E:=\unicode[STIX]{x1D6E4}(\mathfrak{X},{\mathcal{E}})$. Avec les notations de 3.1.2, les hypothèses d’acyclicité sur ${\mathcal{E}}$ impliquent l’isomorphisme $\unicode[STIX]{x1D6E4}({\mathcal{Z}},u^{\ast }{\mathcal{E}})\overset{{\sim}}{\longrightarrow }\,{\mathcal{H}}^{0}(\mathbb{R}\unicode[STIX]{x1D6E4}({\mathcal{Z}},\mathbb{L}u^{\ast }{\mathcal{E}}))$ (on utilise la suite spectrale d’hypercohomologie du foncteur dérivé de $\unicode[STIX]{x1D6E4}({\mathcal{Z}},-)$). On déduit alors du lemme 3.1.3 l’isomorphisme $\unicode[STIX]{x1D6E4}({\mathcal{Z}},u^{\ast }{\mathcal{E}})\overset{{\sim}}{\longrightarrow }\,{\mathcal{H}}^{0}(\mathbb{L}u^{\ast }(E))=u^{\ast }(E)$.

Choisissons une présentation finie $(D_{\mathfrak{X}^{\sharp }}^{\dagger }(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{Q}})^{r}\underset{a}{\longrightarrow }(D_{\mathfrak{X}^{\sharp }}^{\dagger }(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{Q}})^{s}\underset{b}{\longrightarrow }E\rightarrow 0$ de $E$ (voir le théorème de type $A$ de Berthelot de [Reference BerthelotBer96, 3.6.5] qui est valable pour les ${\mathcal{D}}_{\mathfrak{X}^{\sharp }}^{\dagger }(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{Q}}$-modules cohérents). En appliquant à cette présentation finie le foncteur ${\mathcal{D}}_{\mathfrak{X}^{\sharp }}^{\dagger }(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{Q}}\otimes _{D_{\mathfrak{ X}^{\sharp }}^{\dagger }(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{Q}}}-$, on en déduit la suite exacte de ${\mathcal{D}}_{\mathfrak{X}^{\sharp }}^{\dagger }(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{Q}}$-modules à gauche $({\mathcal{D}}_{\mathfrak{X}^{\sharp }}^{\dagger }(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{Q}})^{r}\underset{\unicode[STIX]{x1D6FC}}{\longrightarrow }({\mathcal{D}}_{\mathfrak{X}^{\sharp }}^{\dagger }(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{Q}})^{s}\underset{\unicode[STIX]{x1D6FD}}{\longrightarrow }{\mathcal{E}}\rightarrow 0$. Par exactitude à droite des deux foncteurs de la forme $u^{\ast }$ (voir les définitions de 3.1.2), on obtient les suites exactes $(u^{\ast }{\mathcal{D}}_{\mathfrak{X}^{\sharp }}^{\dagger }(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{Q}})^{r}\underset{u^{\ast }(\unicode[STIX]{x1D6FC})}{\longrightarrow }(u^{\ast }{\mathcal{D}}_{\mathfrak{X}^{\sharp }}^{\dagger }(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{Q}})^{s}\underset{u^{\ast }(\unicode[STIX]{x1D6FD})}{\longrightarrow }u^{\ast }({\mathcal{E}})\rightarrow 0$ et $(u^{\ast }D_{\mathfrak{X}^{\sharp }}^{\dagger }(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{Q}})^{r}\underset{u^{\ast }(a)}{\longrightarrow }(u^{\ast }D_{\mathfrak{X}^{\sharp }}^{\dagger }(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{Q}})^{s}\underset{u^{\ast }(b)}{\longrightarrow }u^{\ast }(E)\rightarrow 0$. Comme $\unicode[STIX]{x1D6E4}({\mathcal{Z}},u^{\ast }(\unicode[STIX]{x1D6FC}))=u^{\ast }(a)$ et comme le morphisme canonique $u^{\ast }(E)\rightarrow \unicode[STIX]{x1D6E4}({\mathcal{Z}},u^{\ast }{\mathcal{E}})$ est un isomorphisme, en appliquant le foncteur $\unicode[STIX]{x1D6E4}({\mathcal{Z}},-)$ à l’avant-dernière suite exacte, on obtient encore une suite exacte (canoniquement isomorphe à la dernière). En posant ${\mathcal{M}}:=u^{\ast }({\mathcal{E}})$, $M:=\unicode[STIX]{x1D6E4}({\mathcal{Z}},{\mathcal{M}})$, $\unicode[STIX]{x1D719}:=\unicode[STIX]{x1D6E4}({\mathcal{Z}},u^{\ast }(\unicode[STIX]{x1D6FC}))$ et $\unicode[STIX]{x1D713}:=\unicode[STIX]{x1D6E4}({\mathcal{Z}},u^{\ast }(\unicode[STIX]{x1D6FD}))$, on obtient donc la suite exacte suivante $(u^{\ast }D_{\mathfrak{X}^{\sharp }}^{\dagger }(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{Q}})^{r}\underset{\unicode[STIX]{x1D719}}{\longrightarrow }(u^{\ast }D_{\mathfrak{X}^{\sharp }}^{\dagger }(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{Q}})^{s}\underset{\unicode[STIX]{x1D713}}{\longrightarrow }M\rightarrow 0$.

(0 bis) Hypothèses 2 : niveaux $m\geqslant m_{0}$, quelques notations.

Soit $m_{0}\geqslant 0$ assez grand tel que, pour tout $m\geqslant m_{0}$, il existe un morphisme $\widetilde{{\mathcal{D}}}_{\mathfrak{X}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)}$-linéaire à gauche de la forme $\unicode[STIX]{x1D6FC}^{(m)}:(\widetilde{{\mathcal{D}}}_{\mathfrak{X}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)})^{r}\rightarrow (\widetilde{{\mathcal{D}}}_{\mathfrak{X}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)})^{s}$ et induisant $\unicode[STIX]{x1D6FC}$ par extension via $\widetilde{{\mathcal{D}}}_{\mathfrak{X}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)}\rightarrow {\mathcal{D}}_{\mathfrak{X}^{\sharp }}^{\dagger }(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{Q}}$. D’après la seconde partie de nos hypothèses, ${\mathcal{M}}$ est associé à un isocristal sur $Z^{\sharp }\setminus U$ surconvergeant le long de $U$ (voir [Reference Caro and TsuzukiCT12]). Donc, comme $M=\unicode[STIX]{x1D6E4}({\mathcal{Z}},{\mathcal{M}})$ et comme ${\mathcal{Z}}$ est affine et lisse, le $O_{{\mathcal{Z}}}(\text{}^{\dagger }U)_{\mathbb{Q}}$-module $M$ est alors projectif et de type fini. De plus, de manière analogue à [Reference BerthelotBer96, 4.4.5] (et aussi [Reference BerthelotBer96, 4.4.7]), quitte à augmenter $\unicode[STIX]{x1D706}_{0}$ et $m_{0}$, il existe un $\widetilde{{\mathcal{D}}}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m_{0})}$-module de type fini et topologiquement nilpotent ${\mathcal{M}}^{(m_{0})}$ qui est, pour la structure induite de $\widetilde{{\mathcal{B}}}_{{\mathcal{Z}}}^{(m_{0})}(U)_{\mathbb{Q}}$-module, un $\widetilde{{\mathcal{B}}}_{{\mathcal{Z}}}^{(m_{0})}(U)_{\mathbb{Q}}$-module (localement projectif) de type fini et un isomorphisme ${\mathcal{D}}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp }}^{\dagger }(\text{}^{\dagger }U)_{\mathbb{Q}}$-linéaire de la forme ${\mathcal{M}}\overset{{\sim}}{\longrightarrow }\,{\mathcal{D}}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp }}^{\dagger }(\text{}^{\dagger }U)_{\mathbb{Q}}\otimes _{\widetilde{{\mathcal{D}}}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m_{0})}}{\mathcal{M}}^{(m_{0})}$. Pour tout $m\geqslant m_{0}$, on pose alors ${\mathcal{M}}^{(m)}:=\widetilde{{\mathcal{D}}}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)}\otimes _{\widetilde{{\mathcal{D}}}_{{\mathcal{Z}}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m_{0})}}{\mathcal{M}}^{(m_{0})}$.

Notons $\unicode[STIX]{x1D6FD}^{(m)}:(\widetilde{{\mathcal{D}}}_{\mathfrak{X}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)})^{s}\rightarrow {\mathcal{E}}$ le composé du morphisme $\unicode[STIX]{x1D6FD}$ avec l’inclusion canonique $(\widetilde{{\mathcal{D}}}_{\mathfrak{X}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)})^{s}{\hookrightarrow}({\mathcal{D}}_{\mathfrak{X}^{\sharp }}^{\dagger }(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{Q}})^{s}$. Posons enfin $\unicode[STIX]{x1D719}^{(m)}:=\unicode[STIX]{x1D6E4}({\mathcal{Z}},u^{\ast }(\unicode[STIX]{x1D6FC}^{(m)}))$ et $\unicode[STIX]{x1D713}^{(m)}:=\unicode[STIX]{x1D6E4}({\mathcal{Z}},u^{\ast }(\unicode[STIX]{x1D6FD}^{(m)}))$. Avec les définitions et notations de 3.1.2, on obtient ainsi la suite $(u^{\ast }\widetilde{D}_{\mathfrak{X}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)})^{r}\underset{\unicode[STIX]{x1D719}^{(m)}}{\longrightarrow }(u^{\ast }\widetilde{D}_{\mathfrak{X}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)})^{s}\underset{\unicode[STIX]{x1D713}^{(m)}}{\longrightarrow }M\rightarrow 0$. On remarque que cette suite devient exacte seulement après passage à la limite sur le niveau.

(1) Hypothèses 2 : topologie de type LB sur M, niveaux $m\geqslant m_{1}$, sections continues $\unicode[STIX]{x1D703}$, $\unicode[STIX]{x1D703}^{(m)}$.

On munit $M$ de la topologie canonique de $O_{{\mathcal{Z}}}(\text{}^{\dagger }U)_{\mathbb{Q}}$-module de type fini qui en fait un $O_{{\mathcal{Z}}}(\text{}^{\dagger }U)_{\mathbb{Q}}$-module de type LB (voir 2.2.2 et 2.2.7). Comme $M$ est un $O_{{\mathcal{Z}}}(\text{}^{\dagger }U)_{\mathbb{Q}}$-module projectif, il existe alors un morphisme $O_{{\mathcal{Z}}}(\text{}^{\dagger }U)_{\mathbb{Q}}$-linéaire $\unicode[STIX]{x1D703}:M\rightarrow (u^{\ast }D_{\mathfrak{X}^{\sharp }}^{\dagger }(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{Q}})^{s}$ tel que $\unicode[STIX]{x1D713}\circ \unicode[STIX]{x1D703}=id$. Comme $M^{(m_{0})}$ est un $\widetilde{B}_{{\mathcal{Z}}}^{(m_{0})}(U)_{\mathbb{Q}}$-module de type fini, il existe $m_{1}\geqslant m_{0}$ tel que, pour tout $m\geqslant m_{1}$, on ait $\unicode[STIX]{x1D703}(M^{(m_{0})})\subset (u^{\ast }\widetilde{D}_{\mathfrak{X}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)})^{s}$. Ainsi, cette section $\unicode[STIX]{x1D703}$ se factorise (de manière unique) en un morphisme $\widetilde{B}_{{\mathcal{Z}}}^{(m_{0})}(U)_{\mathbb{Q}}$-linéaire de la forme $M^{(m_{0})}\rightarrow (u^{\ast }\widetilde{D}_{\mathfrak{X}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)})^{s}$. D’où la factorisation $\widetilde{{\mathcal{B}}}_{{\mathcal{Z}}}^{(m)}(U)_{\mathbb{Q}}$-linéaire unique $\unicode[STIX]{x1D703}^{(m)}:M^{(m)}\rightarrow (u^{\ast }\widetilde{D}_{\mathfrak{X}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)})^{s}$ pour tout $m\geqslant m_{1}$. Soit $\overset{\circ }{M}^{(m)}$ un $\widetilde{B}_{{\mathcal{Z}}}^{(m)}(U)$-module de type fini induisant l’isomorphisme $\widetilde{B}_{{\mathcal{Z}}}^{(m)}(U)_{\mathbb{Q}}$-linéaire. Or, une base de voisinages de zéro sur $(u^{\ast }\widetilde{D}_{\mathfrak{X}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)})^{s}$ (resp. $M^{(m)}$) est donnée par la famille de $\widetilde{B}_{{\mathcal{Z}}}^{(m)}(U)$-modules $(p^{n}(u^{\ast }\widetilde{D}_{\mathfrak{X}^{\sharp }}^{(m)})^{s})_{n\in \mathbb{N}}$ (resp. $(p^{n}(\overset{\circ }{M}^{(m)})_{n\in \mathbb{N}})$). Pour $n$ assez grand, on a l’inclusion $\unicode[STIX]{x1D703}^{(m)}(p^{n}\overset{\circ }{M}^{(m)})\subset (u^{\ast }\widetilde{D}_{\mathfrak{X}^{\sharp }}^{(m)})^{s}$. On en déduit que le morphisme $\unicode[STIX]{x1D703}^{(m)}$ de $\widetilde{B}_{{\mathcal{Z}}}^{(m)}(U)_{\mathbb{Q}}$-modules de Banach est continu. Par composition de morphismes continus, il en est donc de même de $M^{(m)}\rightarrow (u^{\ast }D_{\mathfrak{X}^{\sharp }}^{\dagger }(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{Q}})^{s}$. Par passage à la limite sur le niveau $m\geqslant m_{1}$, la section $\unicode[STIX]{x1D703}:M\rightarrow (u^{\ast }D_{\mathfrak{X}^{\sharp }}^{\dagger }(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{Q}})^{s}$ est alors continue.

(2) Le $K$-espace $G$de type $LB$, les $K$-espaces de Banach $G^{(m)}$. Avec les topologies canoniques respectives (voir les définitions de 2.1.2), d’après la proposition 2.3.1, l’application $\unicode[STIX]{x1D719}$ est un morphisme continu de $K$-espaces de type $LB$ (voir 2.3.3). Notons $G:=(u^{\ast }D_{\mathfrak{X}^{\sharp }}^{\dagger }(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{Q}})^{r}/\ker (\unicode[STIX]{x1D719})$ le $K$-espace localement convexe dont la topologie est celle qui fait de la projection canonique $\unicode[STIX]{x1D70B}:(u^{\ast }D_{\mathfrak{X}^{\sharp }}^{\dagger }(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{Q}})^{r}{\twoheadrightarrow}G$ un morphisme strict. Notons $\unicode[STIX]{x1D704}:G{\hookrightarrow}(u^{\ast }D_{\mathfrak{X}^{\sharp }}^{\dagger }(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{Q}})^{s}$ le monomorphisme tel que $\unicode[STIX]{x1D704}\circ \unicode[STIX]{x1D70B}=\unicode[STIX]{x1D719}$. Comme $\unicode[STIX]{x1D719}$ est continue, alors $\unicode[STIX]{x1D704}$ est continu. Comme $(u^{\ast }D_{\mathfrak{X}^{\sharp }}^{\dagger }(\text{}^{\dagger }T)_{\mathbb{Q}})^{s}$ est séparé (voir 2.3.3), il en est alors de même de $G$. Ainsi $G$ est un quotient séparé d’un espace de type $LB$. D’après 1.1.7, cela entraîne que $G$ est aussi un espace de type $LB$. Plus précisément, d’après sa preuve, en notant $G^{(m)}:=(u^{\ast }\widetilde{D}_{\mathfrak{X}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)})^{r}/(\ker (\unicode[STIX]{x1D719})\cap (u^{\ast }\widetilde{D}_{\mathfrak{X}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)})^{r})$ muni de la topologie quotient, $G^{(m)}$ est un $K$-espace de Banach et l’isomorphisme canonique $\mathop{\varinjlim }\nolimits_{m}G^{(m)}\overset{{\sim}}{\longrightarrow }\,G$ est aussi un homéomorphisme. Comme par définition le morphisme $(u^{\ast }\widetilde{D}_{\mathfrak{X}^{\sharp },\mathbb{Q}}^{(m)})^{r}\rightarrow G^{(m)}$ est strict, il découle de 3.2.2 que l’on dispose de l’épimorphisme strict