2.1 Annulation du groupe de Brauer de la courbe

On sait que ${\rm Pic} (X)=\mathbb {Z}$ engendré par la classe du fibré $\mathcal {O}_X(1)$. On va avoir besoin dans la suite de connaître

\[ H^2_{\rm{\acute{e}t}}(X,\mathbb{G}_m). \]

D'après Grothendieck ([Reference GrothendieckGro68] coro. 2.2), puisque $X$ est noethérien de dimension $1$,

\[ {\rm Br} (X)\xrightarrow{\;\sim\;} H^2_{\rm{\acute{e}t}}(X,\mathbb{G}_m) \]

où le groupe de Brauer est celui classifiant les classes d’équivalence d'algèbres d'Azumaya sur $X$. Commençons par remarquer le résultat suivant.

Proof Démonstration D'après la théorie du corps de classe local on sait que si $[B]\in {\rm Br}(E)$, où $B$ est une algèbre simple sur $E$, il existe un isocristal $(D,\varphi )\in \varphi \text {-Mod}_L$ isocline tel que

\[ B\simeq {\rm End} (D,\varphi). \]

Mais pour un tel isocristal

\[ B\otimes_E \mathcal{O}_X \xrightarrow{\;\sim\;} \mathscr{E}nd (\mathscr{E}(D,\varphi)). \]

Proof Démonstration Soit $\mathscr {A}$ une algèbre d'Azumaya sur $X$. Pour $\lambda \in \mathbb {Q}$ on note $\mathscr {A}^{\geq \lambda }$ , resp. $\mathscr {A}^{>\lambda }$, la partie de pente $\geq \lambda$, resp. $ > \lambda$, dans la filtration de Harder-Narasimhan de $\mathscr {A}$. Il résulte du théorème de classification 8.2.10 de [Reference Fargues and FontaineFF18] que le produit tensoriel de deux fibrés semi-stables est semi-stable. On en déduit en regardant le morphisme

\[ \mathscr{A}\otimes_{\mathcal{O}_X}\mathscr{A}\longrightarrow \mathscr{A} \]

défini par la loi d'algèbre que

\[ \mathscr{A}^{\geq \lambda}.\mathscr{A}^{\geq \mu}\subset \mathscr{A}^{\geq \lambda+\mu}. \]

De plus la section unité de $\mathscr {A}$, définie par un morphisme $\mathcal {O}_X\xrightarrow {e} \mathscr {A}$, est à valeurs dans $\mathscr {A}^{\geq 0}$. Il s'en suit que $\mathscr {A}^{\geq 0}$ est une sous-algèbre de $\mathscr {A}$ et $\mathscr {A}^{>0}$ un idéal bilatère nilpotent dans $\mathscr {A}^{\geq 0}$. Posons

\[ H= (\mathscr{A}^{\geq 0})^{\times}/e(\mathcal{O}_X^\times) \]

comme $X$-schéma en groupes lisse. Montrons que $H$ est un sous-groupe parabolique du groupe semi-simple $\mathscr {A}^{\times }/e(\mathcal {O}_X^{\times })$ de radical unipotent $1+\mathscr {A}^{>0}$. Remarquons d'abord que $e(\mathcal {O}_X)\cap \mathscr {A}^{>0}=0$ puisque $\mathscr {A}^{>0}$ est nilpotent. La filtration de Harder-Narasimhan de

\begin{align*} \mathscr{E} &:= \mathscr{A}/e(\mathcal{O}_X)\\ &\phantom{:}= {\rm Lie} ( \mathscr{A}^\times/e(\mathcal{O}_X^\times) ) \end{align*}

est donnée par :

1. — $\mathscr {E}^{\geq \lambda }=\mathscr {A}^{\geq \lambda }/e(\mathcal {O}_X)$ si $\lambda \leq 0$;

2. — $\mathscr {E}^{\geq \lambda }=\mathscr {A}^{\geq \lambda }$ si $\lambda >0$.

Considérons la forme de Killing

\[ \mathscr{E}\times \mathscr{E} \longrightarrow \mathcal{O}_X. \]

Puisque l'algèbre de Lie $\mathscr {E}$ est localement isomorphe pour la topologie étale à $pgl_n$, où ${\rm rg} \mathscr {A}=n^2$, c'est une forme parfaite et elle induit des isomorphismes

(1)\begin{equation} \mathscr{E}^{\geq \lambda} \xrightarrow{\;\sim\;} (\mathscr{E}^{\vee})^{\geq \lambda} = (\mathscr{E}^{>-\lambda})^{\perp} \end{equation}

où l’égalité de droite est valable pour la filtration de Harder-Narasimhan de n'importe quel fibré. Par définition ([Reference Gille and PoloSGA3] exp. XXVI déf. 1.1) $H$ est un sous-groupe parabolique si et seulement si c'est le cas après spécialisation en chaque fibre géométrique de $X$. Soit donc $\bar {x}\rightarrow X$ un point géométrique de $X$. Par spécialisation de (1) on obtient que sous la forme de Killing de $\mathscr {E}\otimes k(\bar {x})$

\[ \mathscr{E}^{>0}\otimes k(\bar{x}) = ( \mathscr{E}^{\geq 0}\otimes k(\bar{x}))^{\perp}. \]

D'après la proposition 3.1 de [Reference GraysonGra86] on en déduit que l'algèbre $\mathscr {E}^{\geq 0}\otimes k(\bar {x})$ est parabolique de radical nilpotent $\mathscr {E}^{>0}\otimes k(\bar {x})$. Puisque $k(\bar {x})$ est de caractéristique $0$, on en déduit que $H$ est un sous-groupe parabolique de radical unipotent $1+\mathscr {A}^{> 0}$.

Soit $P\subset {\rm PGL}_n$ le sous-groupe parabolique standard de type celui défini par $H\subset \mathscr {A}^\times /e(\mathcal {O}_X^\times )$. Puisque $H$ et $P$ sont localement conjugués pour la topologie étale ([Reference Gille and PoloSGA3] exp. XXVI prop. 1.3), la classe de cohomologie

\[ [{\rm Isom}(M_n,\mathscr{A})]\in H^1_{\rm{\acute{e}t}} ( X,{\rm PGL}_n) \]

provient d'une classe de cohomologie dans

\[ H^1_{\rm{\acute{e}t}}(X,P) \]

i.e. le ${\rm PGL}_n$-torseur défini par $\mathscr {A}$ possède une réduction canonique à $P$ (cf. rem. 2.4 qui suit). Cette classe de cohomologie est donnée par le $P$-torseur

\[ {\rm Isom}_{\mathcal{O}_X\text{-alg}} ({\rm Lie}\, \tilde{P}, \mathscr{A}^{\geq 0}) \]

où $\tilde {P}$ est le sous-groupe parabolique de $\hbox {GL}_n$ image réciproque de $P$.

Notons $\alpha \in H^1_{\rm{\acute {e}t}}(X,P)$ cette classe. Soit $\mathscr {U}_\alpha$ la forme tordue du radical unipotent $U$ de $P$ par $\alpha$ via l'action de $P$ sur $U$ par automorphismes intérieurs. Le groupe $\mathscr {U}_\alpha$ est filtré par

\[ \mathscr{U}_\alpha^{\geq \lambda} = 1+\mathscr{A}^{\geq \lambda},\quad \lambda\in \mathbb{Q}_{>0} \]

de gradués

\[ \mathscr{U}_\alpha^{\geq \lambda}/\mathscr{U}_\alpha^{>\lambda} = \mathscr{A}^{\geq \lambda}/\mathscr{A}^{>\lambda}. \]

On note $M$ le quotient de Levi de $P$. La fibre de l'application

\[ H^1_{\rm{\acute{e}t}}(X,P)\longrightarrow H^1_{\rm{\acute{e}t}}(X,M) \]

au dessus de l'image de $\alpha$ s'identifie à l'ensemble pointé

\[ H^1_{\rm{\acute{e}t}}(X,\mathscr{U}_\alpha) \]

dont la classe triviale correspond à $\alpha$. Cet ensemble de cohomologie se dévisse alors par récurrence en les

\[ H^1 (X,\mathscr{A}^{\geq \lambda}/\mathscr{A}^{>\lambda}) \]

qui sont nuls puisque $\mathscr {A}^{\geq \lambda }/\mathscr {A}^{>\lambda }$ est semi-stable de pente positive. On en déduit que $\alpha$ est complètement déterminée par son image dans $H^1_{\rm{\acute {e}t}}(X,M)$.

Notons $\beta \in H^1_{\rm{\acute {e}t}}(X,M)$ l'image de $\alpha$. La $\mathcal {O}_X$-algèbre $\mathscr {A}^{\geq 0}/\mathscr {A}^{>0}$ est de la forme

\[ \prod_{i=1}^r \mathscr{B}_i \]

où les $\mathscr {B}_i$ sont des algèbres d'Azumaya. Le fibré $\mathscr {A}^{\geq 0}/\mathscr {A}^{>0}$ est semi-stable de pente $0$ or il y a une équivalence tensorielle

\begin{align*} \mathrm{Vect}_E & \xrightarrow{\;\sim\;} {\rm Fib}_X^{ss,0} \\ V & \longmapsto V\otimes_E \mathcal{O}_X. \end{align*}

Il existe donc des algèbres semi-simples $B_1,\dots ,B_r$ centrales sur $E$ telles que

\[ \mathscr{B}_i\simeq B_i\otimes_E \mathcal{O}_X. \]

On a $M=(\prod _{i=1}^{r} \hbox {GL}_{m_i})/\mathbb {G}_m$ avec $\dim _E B_i=m_i^2$. De la proposition 2.1 on en déduit que l'image par le morphisme

\[ M\longrightarrow \prod_{i=1}^{r} {\rm PGL}_{m_i} \]

de notre classe de $\beta$ est celle de l'algèbre d'Azumaya

\[ \prod_{i=1}^r \mathscr{E}nd (\mathscr{E}_i) \]

pour des fibré vectoriels $\mathscr {E}_i$ de rang $m_i$. La suite exacte

\[ 1\longrightarrow \mathbb{G}_m^r/\mathbb{G}_m\longrightarrow M\longrightarrow \prod_{i=1}^r {\rm PGL}_{m_i}\longrightarrow 1 \]

montre alors qu'il existe des fibrés en droites $\mathscr {L}_1,\dots ,\mathscr {L}_r$ tels que

\[ \mathscr{A}\simeq {\rm End} \Big ( \bigoplus_{i=1}^r \mathscr{E}_i\otimes \mathscr{L}_i\Big ) \]

ce qui conclut la preuve.

On note $E(X)$ le corps des fonctions de la courbe. Notons le corollaire suivant que nous n'utiliserons pas.

Proof Démonstration Pour tout entier $n\geq 1$ on a

où $U$ parcourt les ouverts non vides de $X$. D'après le théorème de pureté absolu de Gabber [Reference FujiwaraFuj02] pour un tel $U$ l'application

est surjective. D'après le théorème 2.2 toute classe dans $H^2 (X,\mu _n)$ est la classe de Chern d'un fibré en droites sur $X$. La restriction d'un tel fibré en droites à $U\subsetneq X$ est triviale ($U$ est le spectre d'un anneau principal). On en déduit que l'image d'une telle classe dans $H^2(U,\mu _n)$ est nulle.

2.2 Une nouvelle preuve de la théorie du corps de classe locale

En fait le théorème 2.2 précédent résulte du théorème principal 5.1 qui sera démontré indépendamment. En effet, si l'application $B({\rm PGL}_n)\rightarrow H^1_{\rm{\acute {e}t}} (X,{\rm PGL}_n)$ est surjective, puisque $B(\hbox {GL}_n)\rightarrow B({\rm PGL}_n)$ est surjective l'application $H^1_{\rm{\acute {e}t}} (X,GL_n)\rightarrow H^1_{\rm{\acute {e}t}} ( X,{\rm PGL}_n)$ l'est également. On a tout de même préféré donné une preuve indépendante du théorème 2.2. car le lien avec la théorie du corps de classe de $E$ y fait déjà son apparition (cf. prop. 2.1) ce dont l'auteur ne se serait pas rendu compte s'il ne s’était intéressé qu'au théorème 5.1. En renversant les arguments on trouve alors l’énoncé suivant.

Théorème 2.6 Le théorème 5.1 implique la théorie du corps de classe local associée à $E$ au sens où l'application qui à un isocristal $(D,\varphi )$ simple de pente $\lambda$ associe la classe $[{\rm End} (D,\varphi )]\in {\rm Br}(E)$ induit un isomorphisme

\[ \mathbb{Q}/\mathbb{Z}\xrightarrow{\;\sim\;} {\rm Br}(E). \]

Cette preuve repose sur le théorème de classification des fibrés de [Reference Fargues and FontaineFF18] qui n'utilise a aucun moment la théorie du corps de classe locale. Elle est différente des preuves usuelles au sens où elle n'utilise pas d'argument de comptage d'ordre de certains groupes de cohomologie galoisienne.

2.3 Annulation du second groupe de cohomologie des tores

Soit $T$ un tore algébrique sur $E$. On va maintenant généraliser le théorème 2.2 au cas de $T$. Notons

\[ f:X_{\rm{\acute{e}t}}\longrightarrow {\rm Spec} (E)_{\rm{\acute{e}t}}. \]

On note encore $T$ pour $T\times _E X$ par abus de notation. Puisque $\Gamma (X_{\bar {E}},\mathcal {O}_{X_{\bar {E}}})=\bar {E}$ on a

(2)\begin{equation} f_* T= T. \end{equation}

Puisque ${\rm Pic} (X_{\bar {E}})=\mathbb {Q}$ on a

(3)\begin{equation} R^1f_* T = X_*(T)_{\mathbb{Q}} \end{equation}

comme module galoisien. Enfin, le théorème 2.2 fournit

(4)\begin{equation} R^2f_* T=0. \end{equation}

Proof Démonstration Considérons la suite spectrale de Hochschild-Serre

\[ E^{ij}_2= H^i_{\rm{\acute{e}t}} ( {\rm Spec} (E), R^j f_* T)\Longrightarrow H^{i+j}_{\rm{\acute{e}t}} (X,T). \]

On a :

1. — $E^{02}_2=0$ d'après (4);

2. — $E^{11}_2= H^1 ({\rm Gal} (\bar {E}|E),X_*(T)_\mathbb {Q})=0$ d'après (3);

3. — $E^{20}_2= H^2({\rm Gal} (\bar {E}|E),T(\bar {E}))$ d'après (2), qui est le dual de Pontryagin de $H^0 ({\rm Gal} (\bar {E}|E),X^*(T))$ d'après Tate-Nakayama.

On en déduit que $H^2_{\rm{\acute {e}t}}(X,T)$ est un groupe divisible.

Soit maintenant $E^{\prime}|E$ une extension galoisienne scindant $T$. Regardons la suite spectrale

\[ E^{ij}_2=H^i({\rm Gal} (E^{\prime}|E), H^j_{\rm{\acute{e}t}}(X_{E^{\prime}},T))\Longrightarrow H^{i+j}_{\rm{\acute{e}t}}(X,T). \]

Dans la catégorie quotient des groupes abéliens par la sous catégorie épaisse formée des groupes de torsion bornée (annulés par un entier) on a :

1. — $E^{11}_2=E^{20}_2=0$ puisqu'ils sont annulés par $[E^{\prime}:E]$;

2. — $E^{02}_2= 0$ d'après le théorème 2.2.

On en déduit que $H^2_{\rm{\acute {e}t}}(X,T)$ est de torsion bornée ce qui permet de conclure.

2.4 L'isomorphisme entre $B(T)$ et $H^1_{\rm{\acute {e}t}}(X,T)$

On peut maintenant montrer le résultat principal, le théorème 5.1, dans le cas des tores.

Théorème 2.9 Il y a un isomorphisme

\begin{align*} B(T) & \xrightarrow{\;\sim\;} H^1_{\rm{\acute{e}t}}(X,T)\\ \, [b] & \longmapsto [\mathscr{E}_b]. \end{align*}

Proof Démonstration Le foncteur qui à $E$ et un tore $T$ sur $E$ associe $H^1_{\rm{\acute {e}t}}(X_{E},T)$ vérifie :

1. — il est exacte à droite d'après le théorème 2.7;

2. — il est compatible à la restriction des scalaires c'est à dire pour $E^{\prime}|E$ finie et $T$ sur $E^{\prime}$

   \[ H^1_{\rm{\acute{e}t}}(X_E,{\rm Res}_{E^{\prime}/E} T)= H^1_{\rm{\acute{e}t}}(X_{E^{\prime}},T). \]

Il en est de même pour $T\mapsto B(T)$. De plus la transformation naturelle de foncteurs

\[ B(-)\longrightarrow H^1_{\rm{\acute{e}t}}(X_E,-) \]

vérifie :

1. — elle est compatible aux identifications $B({\rm Res}_{E^{\prime}/E} T)=B(T)$ et $H^1_{\rm{\acute {e}t}}(X_E,{\rm Res}_{E^{\prime}/E} T)= H^1_{\rm{\acute {e}t}}(X_{E^{\prime}},T)$;

2. — si $T=\mathbb {G}_m$ c'est un isomorphisme d'après le calcul de ${\rm Pic} (X_E)$.

Le lemme 2.2 de [Reference KottwitzKot85] permet alors de conclure que c'est un isomorphisme.

Avec les notations de la section 2.3, il y a un triangle exacte

qui est le dévissage de $\tau _{\leq 2} Rf_*T$ en $f_*T$ et $R^1 f_*T$. Il induit une suite exacte

\[ 0\longrightarrow H^1(E,T)\longrightarrow H^1_{\rm{\acute{e}t}}(X,T)\longrightarrow X_*(T)_\mathbb{Q}^{\Gamma} . \]

Via l'isomorphisme de Kottwitz ([Reference KottwitzKot85] sec. 2.4)

\[ X_*(T)_\Gamma\xrightarrow{\;\sim\;} B(T) \]

cette suite exacte coïncide avec la suite exacte

\[ 0\longrightarrow X_*(T)_{\Gamma}^{tor} \longrightarrow X_*(T)_\Gamma \longrightarrow X_*(T)_\mathbb{Q}^\Gamma \]

où la flèche de droite s'interprète comme étant l'application $[b]\mapsto [\nu _b]$. Il suffit pour cela de vérifier que les différentes flêches sont compatibles à la restriction des scalaires des tores et que ces deux suites exactes s'identifient pour $T=\mathbb {G}_m$, ce qui ne pose pas de problème.

3.1 La classe fondamentale de la courbe

Commençons par le calcul suivant.

Proposition 3.1 Il y a un isomorphisme canonique

via lequel ${\rm tr}(c_1(\mathcal {O}_X(1)))=\bar {1}$.

Remarquons que d'après le théorème de pureté de Gabber [Reference FujiwaraFuj02], puisque $X$ est régulier de dimension $1$, si $i:Z\hookrightarrow X$ est un sous-schéma fermé propre, il y a un isomorphisme canonique

On dispose donc d'une application classe de cycle

et on vérifie qu'elle est compatible à la première classe de Chern utilisée précédemment via l'isomorphisme

\begin{align*} {\rm Div} (X)/\sim & \xrightarrow{\;\sim\;} {\rm Pic} (X) \\ {[} D] & \longmapsto [\mathcal{O}_X(D)]. \end{align*}

Définition 3.2 On note

pour n'importe quel $x\in |X_E|$ la classe fondamentale de la courbe.

Remarquons la propriété suivante de compatibilité lorsque le corps $E$ varie.

Proof Démonstration On utilise les notations de la section 8.2 de [Reference Fargues and FontaineFF18]. Le point (1) est une conséquence de ce que l'image réciproque de $\mathcal {O}_{X_E}(1)$ à $X_{E^{\prime}}$ est isomorphe à $\mathcal {O}_{X_{E^{\prime}}}([E^{\prime}:E])$. Le point (2) quant à lui résulte de ce que

\begin{align*} \det (\pi_{E^{\prime}/E*} \mathcal{O}_{X_{E^{\prime}}}(1)) &= \det \biggl(\mathcal{O}_{X_{E}} \biggl(\frac{1}{[E^{\prime}:E]}\biggr)\biggr) \\ &\simeq \mathcal{O}_{X_{E}} (1) \end{align*}

et de ce que

\[ \pi_{E^{\prime}/E!}c_1 (\mathcal{O}_{X_{E^{\prime}}} (1)) = c_1 ( \det (\pi_{E^{\prime}/E*} \mathcal{O}_{X_{E^{\prime}}}(1) ) ). \]

Normalisons la théorie du corps de classe de telle manière que le Frobenius arithmétique corresponde à une uniformisante.

Proof Démonstration Soit $D_{1/n}$ l'algèbre à division sur $E$ des automorphismes de l'isocristal isocline de pente $-1/n$. Sa classe dans le groupe de Brauer de $E$ est la classe fondamentale de la théorie du corps de classe associée à l'extension non-ramifiée de degré $n$ de $E$. De plus

\[ D_{1/n}\otimes_E \mathcal{O}_{X_E}\xrightarrow{\;\sim\;} \mathscr{E}nd \biggl(\mathcal{O}_{X_E}\biggr(\frac{1}{n}\biggr)\biggr). \]

On a un diagramme commutatif

duquel on déduit en chassant les cocycles de Cech non abéliens que l'application composée

coïncide avec

La proposition découle alors de ce que

\[ \det \mathcal{O}_X \biggl(\frac{1}{n}\biggr)\simeq \mathcal{O}_X (1). \]

3.2 Cohomologie de la courbe à coefficients dans un système local

On peut maintenant en venir au point principal qui dit que l'on peut calculer la cohomologie galoisienne de $E$ à coefficients de torsion en termes de la cohomologie étale de la courbe.

Théorème 3.7 Notons $f:X\rightarrow {\rm Spec} (E)$ et soit $\mathscr {F}$ un système locale étale de torsion sur ${\rm Spec} (E)$. Pour $0\leq i\leq 2$ il y a un isomorphisme

\[ f^*:H^i_{\rm{\acute{e}t}} ({\rm Spec} (E),\mathscr{F})\xrightarrow{\;\sim\;} H^i_{\rm{\acute{e}t}} (X,f^*\mathscr{F}). \]

Proof Démonstration Commençons par vérifier que pour $i\in \{1,2\}$ on a

\[ H^i_{\rm{\acute{e}t}} (X_{\bar{E}},f^*\mathscr{F})=0. \]

Pour cela il suffit de vérifier que pour tout entier $n\geq 1$,

Cela résulte alors de la suite exacte longue de Kummer couplée au fait que

\begin{align*} {\rm Pic} (X_{\bar{E}})&= \mathbb{Q}, \\ H^2_{\rm{\acute{e}t}} (X_{\bar{E}},\mathbb{G}_m) &= \underset{E^{\prime}|E{\rm finie}}{\underset{\longrightarrow}{{\rm lim }}\;} H^2_{\rm{\acute{e}t}} (X_{E^{\prime}},\mathbb{G}_m) \\ &= 0 \end{align*}

d'après le théorème 2.2.

On peut maintenant appliquer la suite spectrale de Hochschild-Serre

\[ E^{ij}_2 = H^i ({\rm Gal} (\bar{E}|E),H^j_{\rm{\acute{e}t}}(X_{\bar{E}},f^*\mathscr{F}))\Longrightarrow H^{i+j}_{\rm{\acute{e}t}} (X_E,f^*\mathscr{F}) \]

pour conclure.

Rappelons que $X_{\bar {E}}$ est simplement connexe ([Reference Fargues and FontaineFF18] théo. 8.6.1). On en déduit le résultat suivant en utilisant la dualité de Tate-Nakayama et la formule de Tate pour la caractéristique d'Euler-Poincaré de la cohomologie galoisienne ([Reference SerreSer94] chap. II § 5 5.7).

Corollaire 3.8 Soit $\mathscr {G}$ un système local étale de torsion sur $X$. Si $f:X\rightarrow {\rm Spec} (E)$ on a alors

\[ f^*\tau_{\leq 2}Rf_*\mathscr{G}\xrightarrow{\;\sim\;} \mathscr{G}. \]

De plus si $\mathscr {G}^{\vee }$ désigne son dual de Pontryagin :

1. (1) Il y a un accouplement parfait de dualité de Poincaré pour $0\leq i\leq 2$

   \[ H^i_{\rm{\acute{e}t}} (X,\mathscr{G})\times H^{2-i}_{\rm{\acute{e}t}} (X,\mathscr{G}^{\vee}(1))\longrightarrow H^2 (X,\mathbb{Q}/\mathbb{Z} (1))\underset{\sim}{\xrightarrow{\ {\rm tr}\ }} \mathbb{Q}/\mathbb{Z} \]
   qui s'interprète comme la dualité de Tate-Nakayama.

2. (2) On dispose d'une formule pour la caractéristique d'Euler-Poincaré

   \[ \prod_{i=0}^2 \big | H^i_{\rm{\acute{e}t}} (X,\mathscr{G})\big |^{(-1)^i} = |\mathscr{G}|_E. \]
   qui s'interprète comme la formule de Tate.

3.3 Quelques conjectures

À la vue des résultats précédents la conjecture suivante s'impose.

La conjecture se ramène bien sûr au cas des faisceaux constructibles et donc au cas de $j_!\mathscr {G}$ où $j:U\hookrightarrow X$ est l'inclusion d'un ouvert non vide de $X$ et $\mathscr {G}$ un système local sur $U$. Dans la suite on notera

\[ H^i_c (U,\mathscr{G}):=H^i(X,j_!\mathscr{G}). \]

Voici deux méthodes pour attaquer cette conjecture. La première est de constater qu'elle résulte de la suivante (théorème de Tsen pour les courbes ‘usuelles’ sur un corps algébriquement clos).

Une des motivations est qu'il semble qu'un analogue de la courbe $X_E$ dans le cas $E=\mathbb {R}$ soit lié à la conique sans point réel $x^2+y^2+z^2=0$, $[x:y:z]\in \mathbb {P}^2_\mathbb {R}$, c'est à dire la forme tordue de $\mathbb {P}^1_{\mathbb {R}}$ sans points réels. Or, il est conjecturé que le corps des fonctions de cette courbe est (C1) ([Reference LangLan53] p. 379) contrairement au corps des fonctions de $\mathbb {P}^1_{\mathbb {R}}$ qui n'est pas (C1) pour des raisons évidentes. Bien sûr lorsque $E=\mathbb {C}$ ce corps est (C1) d'après Tsen.

Une autre façon d'attaquer la conjecture 3.9 est la suivante. Rappelons que l'on peut définir un pendant adique $X^{ad}$ de la courbe schématique $X$ ([Reference FarguesFar15] sec. 2 et [Reference FarguesFar16]). Il y un morphisme continu de sites étales

\[ X_{\rm{\acute{e}t}}^{ad}\longrightarrow X_{\rm{\acute{e}t}}. \]

Avec les notations de [Reference Fargues and FontaineFF18] cela résulte de l'existence d'un morphisme de ind-schémas $\varphi$-invariant

\[ \underset{I\,\subset\, ]0,1[}{\underset{\longrightarrow}{{\rm lim }}\;} {\rm Spec} (B_I)\longrightarrow X \]

et de ce que les algèbres de Banach $B_I$ sont fortement noethériennes [Reference KedlayaKed14]. En effet, puisque $B_I$ est fortement noethérienne, pour $U\rightarrow {\rm Spec} (B_I)$ étale on peut définir naturellement son adifié qui est un morphisme étale $U^{ad}\rightarrow \hbox {Spa} (B_I,B_I^{\circ })$ et cela définit un morphisme continu de sites

\[ \hbox{Spa} (B_I,B_I^{\circ})_{\rm{\acute{e}t}}\longrightarrow {\rm Spec} (B_I)_{\rm{\acute{e}t}}. \]

On peut alors formuler la conjecture suivante.

Conjecture 3.11 Pour tout faisceau étale de torsion $\mathscr {F}$ sur $X$ le morphisme continu $X^{ad}_{\rm{\acute {e}t}}\rightarrow X_{\rm{\acute {e}t}}$ induit un isomorphisme

\[ H^\bullet_{\rm{\acute{e}t}} (X,\mathscr{F})\xrightarrow{\;\sim\;} H^{\bullet}_{\rm{\acute{e}t}} (X^{ad},\mathscr{F}^{ad}). \]

Passons maintenant à la question de l'extension de la dualité de Poincaré aux faisceaux constructibles qui se dévisse à la conjecture suivante.

Conjecture 3.12 Soit $U\subset X$ un ouvert non vide de $X$ et $\mathscr {F}$ un système local étale de torsion sur $U$. Pour $0\leq i\leq 2$ l'accouplement

\[ H^i_{c}(U,\mathscr{F})\times H^{2-i}(U,\mathscr{F}^{\vee}(1))\longrightarrow H^2_c (U,\mathbb{Q}/\mathbb{Z}(1))=H^2(X,\mathbb{Q}/\mathbb{Z}(1))\xrightarrow{\sim}\mathbb{Q}/\mathbb{Z} \]

est parfait.

Cette conjecture étant supposée vérifiée, se pose la question de son interprétation comme généralisation de la dualité de Tate-Nakayama. On peut également se demander si la bonne notion qui s'interprète agréablement comme généralisation de la dualité de Tate-Nakayama n'est pas plutôt la cohomologie d'intersection $\mathbb {H}^i (X,\mathscr {F}):=H^i(X,j_*\mathscr {F})$ qui devrait être autoduale.

5.1 Réduction canonique d'un $G$-torseur

La théorie de Harder-Narasimhan de la réduction des $\hbox {GL}_n$-torseurs sur les courbes propres et lisses sur un corps [Reference Harder and NarasimhanHN74] a été étendue au cadre des groupes réductifs par Atiyah et Bott dans [Reference Atiyah and BottAB83]. Atiyah et Bott se placent dans le contexte des torseurs sur une surface de Riemann compacte. Cependant Biswas et Holla montrent dans [Reference Biswas and HollaBH04] qu'une telle théorie existe dans le contexte des $G$-torseurs sur une courbe propre et lisse sur un corps algébriquement clos de caractéristique $0$. Ici $G$ est un groupe réductif constant c'est à dire défini sur le corps de base. Lorsque $G$ n'est plus constant, c'est à dire est un schéma en groupes réductifs sur la courbe, Behrend a développé dans [Reference BehrendBeh95] une théorie de la réduction d'un $G$-torseur $\mathscr {T}$ en termes de sous-groupe parabolique canonique du schéma en groupes réductif $\underline {{\rm Aut}}(\mathscr {T})$ forme intérieure de $G$. Enfin, remarquons qu'un point de vue Tannakien sur les filtrations dans les catégories Tannakiennes est étudié en détails dans [Reference ZieglerZie15] en complément des résultats de [Reference Saavedra RivanoSR72] dont nous utiliserons parfois les résultats. On pourra également se référer à [Reference CornutCor] pour des résultats généralisant ceux de [Reference ZieglerZie15] pour les groupes non constants.

Revenons à notre courbe $X$ sur $E$. Soit $G$ un groupe réductif sur $E$. Si $\mathscr {T}$ est un $G$-torseur sur $X$ et $H$ un sous-groupe algébrique de $G$ par définition une réduction de $\mathscr {T}$ à $H$ est la donnée d'un $H$-torseur $\mathscr {T}_H$ ainsi que d'un isomorphisme

\[ \mathscr{T}_H\underset{H}{\times} G\xrightarrow{\;\sim\;} \mathscr{T}. \]

Par abus de notations on notera $\mathscr {T}_H$ une telle réduction, l'isomorphisme précédent étant supposé fixé. Rappelons également qu'une réduction de $\mathscr {T}$ coïncide avec la donné d'une section de la fibration

\[ \mathscr{T}/H\longrightarrow X \]

étale localement triviale de fibre $G/H$. On vérifie que les résultats de [Reference Biswas and HollaBH04] s'appliquent aux $G$-torseurs sur $X_{\bar {E}}$. Supposons maintenant de plus que $G$ est quasi-déployé et fixons un sous-groupe de Borel $B$ de $G$. Soit $\mathscr {T}$ un $G$-torseur sur $X_E$ et $\mathscr {T}_{\bar {E}}$ son image réciproque sur $X_{\bar {E}}$. Il existe alors un sous-groupe parabolique standard $P$ dans $G_{\bar {E}}$ et une réduction canonique $\mathscr {T}_{\bar {E},P}$ de $\mathscr {T}_{\bar {E}}$ à $P$ telle que si $M$ désigne le quotient de Levi de $P$

\[ \mathscr{T}_{\bar{E},P}\underset{P}{\times} M = \mathscr{T}_{\bar{E},P}/R_u P \]

soit semi-stable. Appliquant la propriété de canonicité à $(P^\sigma ,\mathscr {T}_{\bar {E},P}^{\sigma })$ pour $\sigma \in {\rm Gal} (\bar {E}|E)$ on constate alors que $(P,\mathscr {T}_{\bar {E},P})$ descendent sur $E$ en un couple $(Q,\mathscr {T}_Q)$ que l'on appelle la réduction canonique de $\mathscr {T}$.

Étant donné un $G$-torseur $\mathscr {T}$ sur $X$ on note

\begin{align*} {\rm Ad} (\mathscr{T}) &= \mathscr{T}\underset{G,{\rm Ad}}{\times} {\rm Lie}\, G \\ &= {\rm Lie} ( \underline{{\rm Aut}} (\mathscr{T})) \end{align*}

le fibré vectoriel en algèbres de Lie associé via la représentation adjointe. Dans la formule précédente $\underline {{\rm Aut}}(\mathscr {T})$ s'interprète également comme étant la forme intérieure de $G\times X$ obtenue par torsion par $\mathscr {T}$ via l'action par automorphismes intérieures de $G$ sur lui-même.

Notons $A\subset T\subset B$ où $A$ est un tore déployé maximal, $T$ un tore maximal et $B$ un sous-groupe de Borel. On utilisera dans la suite les propriétés suivantes pour $\mathscr {T}$ de réduction canonique $\mathscr {T}_P$ :

1. (1) $\mathscr {T}$ est semi-stable si et seulement si le fibré de pente $0$ ${\rm Ad}(\mathscr {T})$ est semi-stable.

2. (2) L'application

   \begin{align*} X^* (P) & \longrightarrow \mathbb{Z} \\ \chi & \longmapsto \deg \big ( \chi_* \mathscr{T}_P\big ) \end{align*}
   est Galois invariante et définit donc un élément
   \[ \nu_{\mathscr{T}}\in X_*(A)_\mathbb{Q} = X_*(T)_\mathbb{Q}^{{\rm Gal} (\bar{E}|E)} = {\rm Hom} (X^*(P),\mathbb{Q})^{{\rm Gal} (\bar{E}|E)} \]
   que l'on voit comme étant un morphisme
   \[ \nu_{\mathscr{T}} :\mathbb{D}\longrightarrow A \]
   où $\mathbb {D}$ est le pro-tore des pentes, $X^*(D)=\mathbb {Q}$.

3. (3) On a

   \[ \nu_{\mathscr{T}} \in X^*(A)_{\mathbb{Q}}^+ \]
   la chambre de Weyl positive relativement au sous-groupe de Borel $B$.

4. (4) Le sous-groupe parabolique $P$ est celui associé à $\nu _{\mathscr {T}}$.

5. (5) Pour $\lambda \in \mathbb {Q}$ soit ${\rm Ad} (\mathscr {T})^{\geq \lambda }$ la partie de pente $\geq \lambda$ dans la filtration de Harder-Narasimhan de ${\rm Ad} (\mathscr {T})$. On a alors

   \begin{align*} [ {\rm Ad} (\mathscr{T})^{\geq \lambda}, {\rm Ad} (\mathscr{T})^{\geq \mu}] & \subset {\rm Ad} (\mathscr{T})^{\geq \lambda+\mu},\\ {\rm Lie} (\underline{{\rm Aut}} (\mathscr{T}_P)) & = {\rm Ad} (\mathscr{T})^{\geq 0}, \\ {\rm Lie} (R_u \underline{{\rm Aut}} (\mathscr{T}_P)) & = {\rm Ad} (\mathscr{T})^{>0}. \end{align*}

6. (6) Le sous-groupe parabolique $\mathscr {P}=\underline {{\rm Aut}} (\mathscr {T}_P)\subset \underline {{\rm Aut}} (\mathscr {T})$ est le groupe des automorphismes du foncteur fibre filtré

   
   au sens de [Reference ZieglerZie15] (théo. 4.40) donné par la filtration de Harder-Narasimhan d'un fibré vectoriel. Il admet une filtration $\mathscr {P}^{\geq \lambda }$, $\lambda \in \mathbb {Q}_{\geq 0}$, telle que
   \[ \mathscr{P}^{>0}=R_u \mathscr{P} \]
   et pour $\lambda >0$,
   \[ \mathscr{P}^{\geq\lambda}/\mathscr{P}^{>\lambda} \xrightarrow{\;\sim\;} {\rm Ad} (\mathscr{T})^{\geq \lambda}/{\rm Ad} (\mathscr{T})^{>\lambda}\otimes \mathbb{G}_a. \]
   On a de plus pour $\lambda >0$
   \[ \mathscr{P}^{\geq \lambda} = \{g\in \underline{{\rm Aut}}(\mathscr{T})\ |\ ({\rm Ad} (g)-{\rm Id}) ({\rm Ad} (\mathscr{T})^{\geq \bullet}) \subset {\rm Ad} (\mathscr{T})^{\geq \bullet +\lambda} \}. \]

Enfin, on remarquera que même si $G$ n'est pas quasidéployé le théorème 4.40 de [Reference ZieglerZie15] s'applique et tout $G$-torseur définit un tel sous-groupe parabolique, la différence étant qu'en général ce n'est pas une forme tordue d'un groupe constant sur $E$.

5.2 Classification des $G$-fibrés en termes de classes de $\varphi$-conjugaison

5.2.1 Rappels sur l'anneau $\bar {B}$

Rappelons ([Reference Fargues and FontaineFF18] sec. 1.10) que l'on dispose d'une $L$-algèbre

\[ B^+=\bigcap_{n\geq 0} \varphi^n(B^+_{{\rm cris}}) \]

où lorsque $E=\mathbb {Q}_p$

\[ B^+_{\textrm{cris}} = H^0_{\textrm{cris}} ( {\rm Spec} (\mathcal{O}_F/\varpi_F)/{\rm Spec} (\mathbb{Z}_p),\mathcal{O}) \big [ {\textstyle\frac{1}{p}}\big ] \]

pour $\varpi _F\in F$ vérifiant $0<|\varpi _F|<1$. De plus, si $B^{b,+}=W_{\mathcal {O}_E}(\mathcal {O}_F)[\tfrac {1}{\pi _E}]$

\[ B^{b,+}/[\varpi_F]\xrightarrow{\;\sim\;} B^+/[\varpi_F]. \]

On a alors

\[ \bar{B} = (B^{b,+}/[\varpi_F])_{{\rm red}} \]

sur lequel $\varphi$ est bijectif ([Reference Fargues and FontaineFF18] sec. 1.10.4). Les anneaux $B^{b,+}/[\varpi _F]$ et $\bar {B}$ sont locaux de corps résiduel $W_{\mathcal {O}_E}(k_F)_\mathbb {Q}$. De plus ([Reference Fargues and FontaineFF18] théo. 11.1.7), la réduction des scalaires induit une équivalence

\[ \varphi\text{-Mod}_{B^+}\xrightarrow{\;\sim\;} \varphi\text{-Mod}_{\bar{B}} \]

où par $\varphi$-module on entend ici des modules libres de rang fini munis d'un isomorphisme semi-linéaire. Lorsque $E=\mathbb {Q}_p$ la catégorie $\varphi \text {-Mod}_{B^+}$ s'identifie à celle des $F$-isocristaux sur ${\rm Spec} (\mathcal {O}_F/[\varpi _F])$. Il y a une équivalence de catégories (théo. 11.1.9 de [Reference Fargues and FontaineFF18])

\[ \varphi\text{-Mod}_{B^+}\xrightarrow{\;\sim\;} \text{Fib}_X. \]

Mais il faut prendre garde que ce n'est pas une équivalence de catégories exactes (cf. exemple 5.2 qui suit), les $\varphi$-modules sur $B^+$ constituant une sorte de ‘modèle entier des fibrés où $[\varpi _F]$ n'est pas inversé’ et l'application qui à un fibré associe un tel ‘model entier’ tue l'exactitude. Au final on a alors :

1. — une équivalence de catégories tensorielle additives

   \[ {\rm Fib}_{X}\xrightarrow{\;\sim\;} \varphi\text{-Mod}_{\bar{B}}, \]

2. — un foncteur de réduction sur le corps résiduel de $\bar {B}$

   \[ \varphi\text{-Mod}_{\bar{B}} \longrightarrow \varphi\text{-Mod}_{W_{\mathcal{O}_E}(k_F)_\mathbb{Q}}, \]

3. — d'après le théorème de Dieudonné-Manin, puisque $k_F$ est algébriquement clos, une équivalence entre catégories d'isocristaux

   \[ \varphi\text{-Mod}_{L} \xrightarrow{\;\sim\;} \varphi\text{-Mod}_{W_{\mathcal{O}_E}(k_F)_\mathbb{Q}} \]
   de la quelle on déduit un foncteur
   \[ red_{\bar{B},L}:\varphi\text{-Mod}_{\bar{B}}\longrightarrow \varphi\text{-Mod}_L. \]

4. — D'après le théorème 11.1.7 de [Reference Fargues and FontaineFF18] pour $(M,\varphi )\in \varphi \text {-Mod}_{\bar {B}}$ il y a alors un isomorphisme (non canonique)

   \[ (M,\varphi)\simeq red_{\bar{B},L} (M,\varphi)\otimes_L \bar{B}. \]

Exemple 5.2 Soient $t_1,t_2\in B^{\varphi =\pi _E}$ non colinéaires. Ils induisent une suite exacte de fibrés

\[ 0\longrightarrow \mathcal{O}(-1)\xrightarrow{\ u\ } \mathcal{O}\oplus \mathcal{O}\xrightarrow{\ v\ } \mathcal{O}(1)\longrightarrow 0 \]

où $u(a)=(-at_2,at_1)$ et $v(b,c)=bt_1+ct_2$. La suite associée de $\varphi$-modules sur $B^+$ n'est pas exacte puisque le morphisme

\begin{align*} B^+\oplus B^+ &\longrightarrow B^+ \\ (b,c) & \longmapsto bt_1+ct_2 \end{align*}

n'est pas surjectif comme on le voit en réduisant modulo $[\varpi _F]$ puis sur le corps résiduel de $B^+/[\varpi _F]$ où c'est le morphisme nul.

Remarque 5.3 Bien que ce ne soit pas une équivalence de catégories exactes, l’équivalence $\varphi \text {-Mod}_{B^+}\xrightarrow {\sim } {\rm Fib}_X$ est compatible à la filtration de Harder-Narasimhan d'un fibré et tout $\varphi$-module sur $B^+$ est canoniquement muni d'une telle filtration.

5.2.2 La classe de $\sigma$-conjugaison associée à un torseur

Le lemme suivant va nous permettre de nous débarrasser du problème de non-exactitude de l’équivalence entre ${\rm Fib}_X$ et $\varphi \text {-Mod}_{\bar {B}}$.

Lemme 5.4 Soient $k$ un corps de caractéristique $0$, $H$ un groupe réductif sur $k$ et $R$ une $k$-algèbre non nulle. Un foncteur

\[ \omega:{\rm Rep}\, H\longrightarrow {\rm Proj}_R \]

à valeurs dans les $R$-modules projectifs de type fini est un foncteur fibre si et seulement si c'est un foncteur additif compatible au produit tensoriel.

Proof Démonstration Puisque $k$ est de caractéristique zéro $H$ est linéairement réductif et toute suite exacte dans ${\rm Rep}\, H$ est scindée. Un tel foncteur est donc automatiquement exact. D'après le corollaire 2.10 de [Reference DeligneDel90] un tel foncteur est automatiquement fidèle.

Soit maintenant $\mathscr {T}$ un $G$-torseur sur $X$. D'après le lemme 5.4 le foncteur composé

(5)\begin{equation} {\rm Rep}\, G\xrightarrow{\ \omega_{\mathscr{T}}\ } {\rm Fib}_{X} \xrightarrow{\;\sim\;} \varphi\text{-Mod}_{\bar{B}} \xrightarrow{\ red_{\bar{B},L}\ } \varphi\text{-Mod}_L \end{equation}

est un foncteur fibre.

Définition 5.5 On note $[b_{\mathscr {T}}]\in B(G)$ la classe de $\sigma$-conjugaison définissant le $G$-isocristal associé au foncteur composé (5).

Le but est maintenant de démontrer le théorème suivant.

Théorème 5.6 Pour tout $G$-torseur $\mathscr {T}$ sur $X$ il y a un isomorphisme

\[ \mathscr{T}\simeq \mathscr{E}_{b_{\mathscr{T}}}. \]

Ce théorème implique aussitôt le théorème principal 5.1.

5.2.3 La classe de $\varphi$-conjugaison dans $\bar {B}$ associée à un torseur

On va maintenant voir que l'on peut raffiner la classe de $\sigma$-conjugaison $b_\mathscr {T}$ dans $G(L)$ en une classe de $\varphi$-conjugaison dans $G(\bar {B})$. Pour cela nous aurons besoin du résultat suivant.

Proposition 5.7 L'anneau local $\bar {B}$ est hensélien.

Pour tout $\rho \in\ ]0,1[$ on a $B^+_\rho =B^+_{[\rho ,1]}$ et une égalité $B^+_\rho /[\varpi _F]= B^{b,+}/[\varpi _F]$. On montre en fait le résultat plus général suivant.

Proposition 5.8 Le couple $(\underset{\longrightarrow }{{\rm lim }}_{\rho \underset {<}{\rightarrow }1} B^+_\rho , \mathfrak {m} )$ est hensélien où $\mathfrak {m}$ est le noyau de la surjection vers $W_{\mathcal {O}_E}(k_F)_\mathbb {Q}$.

Proof Démonstration Soient $\rho \in\ ]0,1[$, $P\in B^+_{\rho } [X]$ unitaire et $x\in B^+_{\rho }$ satisfaisant

\begin{align*} P(x) & \in \mathfrak{m} ,\\ P'(x) & \notin \mathfrak{m}. \end{align*}

Dire que $P'(x)\notin \mathfrak {m}$ est équivalent à ce que le polygone de Newton de $P'(x)$ satisfasse

\[ {\rm Newt} (P'(x))(t)=0 \quad {\rm pour}\ t\gg 0. \]

Cela implique que quitte à agrandir $\rho$ dans $]0,1[$ on peut supposer que

\[ P'(x)\in (B^+_{\rho})^\times. \]

En regardant ce même polygone de Newton on constate également qu'il existe $\rho _0 \in\ ]0,1[$ ainsi que $n\in \mathbb {Z}$ (la plus petite abscisse où le polygone de Newton touche l'axe des abscisses) tels que

\[ \forall \rho\in [\rho_0,1], \ |P'(x)|_\rho =\rho^n. \]

Quitte à remplacer $x$ par $\pi _E^kx$ et $P(X)$ par $\pi _E^{k\deg P} P ({X}/{\pi _E^k} )$ pour $k\gg 0$ on peut de plus supposer que $n\geq 1$.

Puisque $P(x)\in \mathfrak {m}$ son polygone de Newton ne touche pas l'axe des abscisses. On en déduit que quitte à agrandir $\rho _0$ on peut supposer que

\[ \forall \rho\in [\rho_0,1],\ |P(x)|_\rho< \rho^{m(\rho)} \]

où $m(\rho )\geq n$ et $m(\rho )\underset {\rho \rightarrow 1}{\longrightarrow } +\infty$.

On a donc pour $\rho \in [\rho _0,1]$

\[ \biggl |\frac{P(x)}{P'(x)}\biggr |_\rho <\rho^{m(\rho)-n}<1. \]

L'algorithme de Newton nous dit alors qu'il existe une racine $z\in B^+_{\rho _0}$ de $P$ satisfaisant

\[ \forall \rho\in [\rho_0,1],\ |x-z|_\rho<\rho^{m(\rho)-n}. \]

Ces inégalité implique que le polygone de Newton de $z-x$ ne touche pas l'axe des abscisses et que donc $z-x\in \mathfrak {m}$.

Remarque 5.9 Avec les notations de ce résultat est le pendant au voisinage de $\{\delta =1\}=V([\varpi _F])$ dans l'espace $\mathscr {Y}$ de l’énoncé usuel au voisinage de $\{\delta =0\} =V(\pi _E)$ qui dit que l'anneau des entiers de l'anneau de Robba borné, $\mathcal {O}_{\mathscr {E}^\dagger }$, est hensélien ([Reference Fargues and FontaineFF18] prop. 1.8.2). En effet, on a

\begin{align*} \underset{\rho \underset{<}{\rightarrow}1}{\underset{\longrightarrow}{\text{ lim }}\;} B^+_\rho &= \underset{\rho \underset{<}{\rightarrow}1}{\underset{\longrightarrow}{\text{ lim }}\;} \Gamma (\mathscr{Y}_{[\rho,1]},\mathcal{O}_{\mathscr{Y}}) ,\\ \mathcal{O}_{\mathscr{E}^\dagger} &= \underset{\rho\underset{>}{\rightarrow} 0}{\underset{\longrightarrow}{\text{ lim }}\;} \Gamma (\mathscr{Y}_{[0,\rho]},\mathcal{O}_{\mathscr{Y}}) \end{align*}

i.e. l'anneau des germes de fonctions holomorphes au voisinage du diviseur $V([\varpi _F])$, resp. $V(\pi _E)$, est hensélien.

Soient maintenant $\mathscr {T}$ un $G$-torseur et $\omega _{\mathscr {T}}$ le foncteur fibre associé.

Proposition 5.10 Le foncteur composé

\[ {\rm Rep}\, G\xrightarrow{\ \omega_\mathscr{T}\ } {\rm Fib}_X\xrightarrow{\;\sim\;} \varphi\text{-}{\rm Mod}_{\bar{B}}\longrightarrow {\rm Proj}_{\bar{B}} \]

est un foncteur fibre isomorphe à $\omega _{{\rm can}}$ où $\omega _{{\rm can}}(V,\rho )=V\otimes _E \bar {B}$.

Proof Démonstration Le fait que ce soit un foncteur fibre résulte du lemme 5.4. D'après [Reference DeligneDel90] théo. 1.12,

\[ {\rm Isom}^{\otimes} (\omega_{{\rm can}},\omega) \]

est un $G$-torseur sur ${\rm Spec} (\bar {B})$. Puisque

\[ H^1(W_{\mathcal{O}_E}(k_F)_\mathbb{Q},G)=1 \]

d'après Steinberg, ce $G$-torseur devient trivial sur le corps résiduel de $\bar {B}$. Puisque $\bar {B}$ est hensélien (prop. 5.7) on conclut que ce torseur est en fait trivial sur ${\rm Spec} (\bar {B})$ (puisque $G$ est lisse ce torseur est lisse et il suffit d'appliquer l'existence de quasi-sections localement pour la topologie étale, cf. [Reference GrothendieckGro67] sec. 17.16).

On en déduit aussitôt le résultat suivant qui donne une correspondance entre $G$-torseurs et algèbre semi-linéaire.

Proposition 5.11 Les classes d'isomorphisme de $G$-fibrés sur $X$ sont en bijection avec les classes de $\varphi$-conjugaison dans $G(\bar {B})$.

5.3 Le cas quasi-déployé

Le but de cette section est de démontrer le théorème 5.6 lorsque $G$ est quasi-déployé. Dans cette section on suppose donc $G$ quasi-déployé.

5.3.1 Le cas semi-stable

Commençons par remarquer le point clef suivant.

Proposition 5.12 Pour $\mathscr {T}$ un $G$-torseur sur $X$ sont équivalents :

1. (1) $\mathscr {T}$ est semi-stable;

2. (2) la classe de $\sigma$-conjugaison $[b_\mathscr {T}]$ est basique.

Proof Démonstration En effet, le torseur $\mathscr {T}$ est semi-stable si et seulement si le fibré ${\rm Ad} (\mathscr {T})$ l'est. De plus $[b]\in B(G)$ est basique si et seulement si $[{\rm Ad}(b)]\in B (\hbox {GL} ({\rm Lie}\, G) )$ est isocline (de pente $0$ automatiquement). Cela résulte de ce que $\nu _{{\rm Ad} (b)}={\rm Ad}\circ \nu _b$. On a de plus

\[ [b_{{\rm Ad} (\mathscr{T})} ]= [ {\rm Ad} (b_{\mathscr{T}})]. \]

On conclut en utilisant que si via le foncteur ${\rm Fib}_X\longrightarrow \varphi \text {-Mod}_L$ le fibré $\mathscr {E}$ s'envoie sur l'isocristal $(D,\varphi )$ alors $\mathscr {E}$ est semi-stable si et seulement si $(D,\varphi )$ est isocline.

Proposition 5.13 Si $\mathscr {T}$ est un $G$-torseur semi-stable sur $X$ on a

\[ \mathscr{T}\simeq \mathscr{E}_{b_{\mathscr{T}}}. \]

Dans la preuve de cette proposition nous aurons besoin du lemme intermédiaire suivant.

Lemme 5.14 Soit $\mathcal {G}$ un $\mathcal {O}_E$-schéma en groupe lisse de fibre spéciale $\mathcal {G}_{\mathbb {F}_q}$ connexe. Notons ${\mathbf {A}}=W_{\mathcal {O}_E}(\mathcal {O}_F)$ et

\[ \bar{{\mathbf{A}}}= {\rm Im}( W_{\mathcal{O}_E}(\mathcal{O}_F)\rightarrow \bar{B}). \]

Pour tout entier $s\geq 1$ tout élément de $\mathcal {G} (\bar {{\mathbf {A}}})$ est $\varphi ^s$-conjugué à $1$.

Proof Démonstration Puisque $\mathcal {G}$ est de présentation finie un élément de $\mathcal {G}({\bf \bar{A}})$ est la réduction d'un élément de $\mathcal {G} ( {\boldsymbol {\text A}}/[a])$ pour un $a\in F$ satisfaisant $0 < |a| < 1$. L'anneau $R= {\boldsymbol {\text A}}/[a]$ est $\pi _E$-adique et vérifie

\[ R/\pi_E=\mathcal{O}_F/a. \]

Puisque $\mathcal {G}$ est lisse l'application

\[ \mathcal{G}(R)\rightarrow \mathcal{G} (R/\pi_E) \]

est surjective. Posons pour tout entier $n\geq 1$

\[ \mathrm{Fil}^n\mathcal{G} (R) = \ker ( \mathcal{G} (R)\longrightarrow \mathcal{G} (R/\pi_E^n)), \]

qui définit une filtration relativement à laquelle $\mathcal {G}(R)$ est séparé complet. On a

\begin{align*} \mathcal{G}(R)/\mathrm{Fil}^1\mathcal{G}(R) & = \mathcal{G} (\mathcal{O}_F/a) ,\\ \mathrm{Fil}^n\mathcal{G} (R)/\mathrm{Fil}^{n+1}\mathcal{G}(R) & = {\rm Lie}\, \mathcal{G}_{\mathbb{F}_q}\otimes_{\mathbb{F}_q} \mathcal{O}_F/a. \end{align*}

D'après Lang, puisque $\mathcal {G}_{\mathbb {F}_q}$ est connexe et $F$ algébriquement clos, tout élément de $\mathcal {G} (\mathcal {O}_F/a)$ est ${\rm Frob}_q^s$-conjugué à $1$. Puisque $F$ est algébriquement clos,

\[ {\rm Id}- {\rm Id}\otimes{\rm Frob}_q^s: {\rm Lie}\, \mathcal{G}_{\mathbb{F}_q}\otimes_{\mathbb{F}_q} \mathcal{O}_F/a\longrightarrow {\rm Lie}\, \mathcal{G}_{\mathbb{F}_q}\otimes_{\mathbb{F}_q} \mathcal{O}_F/a \]

est surjectif. On conclut facilement.

Nous allons également utiliser le lemme suivant dont la preuve élémentaire est laissée au lecteur. Du point de vue des torseur ce lemme revient à étudier les torseurs sur $X_E$ qui deviennent isomorphes après tiré en arrière sur le revêtement $X_{E^{\prime}}\rightarrow X_E$ où $E^{\prime}|E$ est non-ramifiée.

Lemme 5.15 Soit $s\in \mathbb {N}_{\geq 1}$. Pour $g\in G(\bar {B})$ notons

\[ N_s (g) =g\varphi(g)\dots \varphi^{s-1}(g) = (g\varphi)^s \varphi^{-s} \]

qui définit une application

\[ N_s:G(\bar{B})/\varphi\text{-conj.}\longrightarrow G(\bar{B})/\varphi^s\text{-conj.} \]

Pour $h\in G(\bar {B})$ on note également

\[ I_{h,s} = \{x\in G(\bar{B})\ |\ x h =h\varphi^s (x)\} \]

le $\varphi ^s$-centralisateur de $h$.

Pour $g\in G(\bar {B})$ on a alors :

1. (1) Il y a une action de $\mathbb {Z}/s\mathbb {Z}$ sur $I_{N_s(g),s}$ telle que $\bar {1}\in \mathbb {Z}/s\mathbb {Z}$ agisse via $x\mapsto g \varphi (x) g^{-1}$.

2. (2) Il y a une bijection d'ensembles pointés

   

Preuve de la proposition 5.13. On note dans cette preuve

\[ L'=W_{\mathcal{O}_E}(k_F)_\mathbb{Q}. \]

Fixons une section $k_F\hookrightarrow \mathcal {O}_F$ de la projection de $\mathcal {O}_F$ vers son corps résiduel. Cela définit un plongement $L'\hookrightarrow \bar {B}$ et donc une section de la projection

\[ G(\bar{B})\longrightarrow G(L'). \]

Soit

\[ [g]\in G(\bar{B})/\varphi\text{-conj.} \]

associé à $\mathscr {T}$ par la proposition 5.11. Notons

\[ b\in G (L') \]

la réduction de $g$.

On note $\nu _b:\mathbb {D}\rightarrow G$ le morphisme des pentes [Reference KottwitzKot85]. D'après la proposition 5.12 $b$ est basique et donc $\nu _b$ est central. Quitte à $\sigma$-conjuguer, resp. $\varphi$-conjuguer, $b$ et $g$ par un même élément de $G(L')$ on peut supposer $b$ décent c'est à dire pour un $s\in \mathbb {N}_{\geq 1}$

\[ (b\sigma)^s =(s.\nu_b)(\pi_E)\sigma^s. \]

Notons

\[ h= N_s(g). (s.\nu_b)(\pi_E)^{-1} \in \ker (G(\bar{B})\rightarrow G(L')). \]

Soit $\mathcal {G}$ un modèle entier lisse de $G$ sur $\mathcal {O}_E$ à fibre spéciale connexe. Il y a un diagramme cartésien

duquel on déduit que

\[ h\in \mathcal{G} (\bar{\bf{\text A}}). \]

D'après le lemme 5.14 $h$ est $\varphi ^s$-conjugué à $1$ et donc, puisque $\nu _b$ est central, $N_s(g)$ est $\varphi ^s$-conjugué à $N_s(b)$ i.e. on a montré le résultat après ‘extension des scalaires’ à $E_s$ l'extension non-ramifiée de degré $s$. Soit $J_b$ le $\sigma$-centralisateur de $b$ comme groupe algébrique sur $E$ [Reference KottwitzKot85].

On utilise maintenant le lemme 5.15 ainsi que ses notations.

Puisque $\bar {B}^{\varphi ^s={\rm Id}}=E_s$ on a

\[ I_{N_s(b),s}=J_b (E_s) \]

où l'action de $\mathbb {Z}/s\mathbb {Z}$ sur le groupe de gauche coïncide avec celle de ${\rm Gal} (E_s|E)$. En effet, puisque $(b\sigma )^s=(s.\nu _b) (\pi _E)\sigma ^s$ avec $\nu _b$ central, $I_{N_s (g),s}$ s'identifie à $G(\bar {B})^{\varphi ^s={\rm Id}}$. L'obstruction à ce que $g$ et $b$ soient $\varphi$-conjugués dans $G(\bar {B})$ est un élément de

\[ H^1 (\mathbb{Z}/s\mathbb{Z}, I_{N_s(g),s}) \]

mais l'image par l'application de réduction $I_{N_s(g),s}\rightarrow J_b (E_s)$ de cette obstruction dans l'ensemble pointé $H^1({\rm Gal} (E_s|E),J_b (E_s))$ est triviale puisque $g$ et $b$ deviennent $\sigma$-conjugué par réduction vers $L'$. On conclut.□

5.3.2 Réduction au cas semi-stable

On suppose toujours $G$ quasi-déployé. Le cas quelconque du théorème 5.6 résulte alors du cas semi-stable (5.13) et de la proposition suivante. Pour $\hbox {GL}_n$ cette proposition est une reformulation du fait que la filtration de Harder-Narasimhan d'un fibré est scindée.

Proposition 5.16 Soit $\mathscr {T}$ un $G$-torseur de réduction canonique $\mathscr {T}_P$ où l'on suppose $P$ en position standard relativement à un sous-groupe de Borel. Notons $M$ le quotient de Levi de $P$ et soit $i:M\hookrightarrow P$ le facteur de Levi standard. Il y a alors un isomorphisme

\[ ( \mathscr{T}_P\underset{P}{\times} M)\underset{M,i}{\times} P \simeq \mathscr{T}_P \]

et donc $\mathscr {T}$ possède une réduction semi-stable à un sous-groupe de Levi.

Proof Démonstration Soit $U$ le radical unipotent de $P$ et $\mathscr {U}$ la forme de $U\times X$ définie par torsion par $\mathscr {T}_P$ via l'action par conjugaison de $P$ sur $U$. Le schéma en groupes unipotent $\mathscr {U}$ possède une filtration

\[ \mathscr{U}^{\geq \lambda},\quad \lambda\in \mathbb{Q}_{>0} \]

vérifiant

\[ \mathscr{U}^{\geq \lambda}/\mathscr{U}^{>\lambda} \simeq {\rm Ad} (\mathscr{T})^{\geq \lambda}/{\rm Ad} (\mathscr{T})^{>\lambda}. \]

La fibre de l'application

\[ H^1_{\rm{\acute{e}t}} (X,P)\longrightarrow H^1_{\rm{\acute{e}t}} (X,U) \]

au dessus de l'image de $[\mathscr {T}_P]$ s'identifie à

\[ H^1_{\rm{\acute{e}t}}(X,\mathscr{U}). \]

Ce groupe de cohomologie est trivial puisque pour tout $\lambda >0$, ${\rm Ad}(\mathscr {T}) ^{\geq \lambda }/{\rm Ad} (\mathscr {T})^{>\lambda }$ est semi-stable de pente positive et donc

\[ H^1 (X,{\rm Ad} (\mathscr{T})^{\geq \lambda}/{\rm Ad} (\mathscr{T})^{>\lambda}) =0. \]

5.4 Le cas général

5.4.1 Le sous-groupe parabolique associé à un torseur

Soit $(M,\varphi )\in \varphi \text {-Mod}_{\bar {B}}$. D'après le théorème 11.1.7 de [Reference Fargues and FontaineFF18] $(M,\varphi )$ admet une décomposition de Dieudonné-Manin. Bien que non-unique, la filtration associée

\[ (M^{\geq \lambda})_{\lambda\in \mathbb{Q}} \]

avec ${\rm gr}^\lambda M$ isocline de pente $-\lambda$ est unique. Elle correspond à la filtration de Harder-Narasimhan du fibré associé à $(M,\varphi )$ (cf. rem. 5.3).

Soient $G$ un groupe réductif sur $E$ et $\beta \in G(\bar {B})$ que l'on pense comme étant associé à un $G$-torseur sur $X$, cf. prop. 5.11. On ne suppose pas $G$ quasi-déployé. Le foncteur

défini par la filtration précédente de Harder-Narasimhan est un foncteur fibre filtré au sens de [Reference ZieglerZie15] (utiliser que $E$ est de caractéristique $0$ ce qui implique que $G$ est linéairement réductif et donc le gradué de la filtration de Harder-Narasimhan définit un foncteur exact). D'après le théorème 4.40 de [Reference ZieglerZie15] on peut lui associer un sous-groupe parabolique

\[ \mathscr{P}\subset G\otimes_E \bar{B}. \]

Notons

\begin{align*} \mathfrak{g} &= {\rm Lie}\, G \\ \text{ et } {\rm Ad}:G & \longrightarrow \hbox{GL} (\mathfrak{g}) \end{align*}

la représentation adjointe. La filtration de Harder-Narasimhan de $(\mathfrak {g}\otimes _E \bar {B},{\rm Ad} (\beta )\varphi )$ définit une filtration

\[ \mathfrak{g}_{\bar{B}}^{\geq \lambda}, \quad \lambda\in \mathbb{Q} \]

telle que

\[ {\rm Lie}\, \mathscr{P} = \mathfrak{g}_{\bar{B}}^{\geq 0}. \]

Le sous-groupe parabolique $\mathscr {P}$ est filtré par $(\mathscr {P}^{\geq \lambda })_{\lambda \geq 0}$ avec

\begin{align*} \mathscr{P}^{>0} &= R_u \mathscr{P} \\ \forall \lambda>0,\ \mathscr{P}^{\geq \lambda}/\mathscr{P}^{>\lambda} &\xrightarrow{\;\sim\;} {\rm gr}^\lambda \mathfrak{g}_{\bar{B}}\otimes \mathbb{G}_a. \end{align*}

5.4.2 Structure du groupe des automorphismes d'un $G$-torseur

On continue avec les hypothèses et notations précédentes. Notons maintenant

\[ I_\beta = \{ g\in G(\bar{B})\ |\ g\beta =\beta \varphi(g)\} \]

le $\varphi$-centralisateur de $\beta$. Il s'identifie au groupe des automorphismes d'un $G$-torseur associé. Puisque

\begin{align*} \mathscr{P} & = \{ g\in G_{\bar{B}}\ |\ {\rm Ad} (g) ( \mathfrak{g}_{\bar{B}}^{\geq \bullet} ) = ( \mathfrak{g}_{\bar{B}}^{\geq \bullet} ) \},\\ I_\beta & \subset \mathscr{P} (\bar{B}). \end{align*}

Il y a une action

\begin{align*} \psi: \mathscr{P} (\bar{B}) &\xrightarrow{\;\sim\;} \mathscr{P} (\bar{B}) \\ g & \longmapsto (\beta \varphi) g (\beta \varphi)^{-1} \end{align*}

pour laquelle

\[ I_\beta = \mathscr{P}(\bar{B})^{\psi={\rm Id}}. \]

Pour $\lambda \geq 0$ l'action de $\psi$ sur

\[ \mathscr{P}^{\geq \lambda}(\bar{B})/\mathscr{P}^{>\lambda} (\bar{B}) = {\rm gr}^\lambda \mathfrak{g}_{\bar{B}} \]

est donnée par ${\rm Ad} (\beta )\varphi$. Pour $(M,\varphi )\in \varphi \text {-Mod}_{\bar {B}}$ on a

\[ \mathrm{coker} \big (M\xrightarrow{ {\rm Id}-\varphi\ } M\big )=0 \]

([Reference Fargues and FontaineFF18] lemme 11.1.6). On en déduit que si $(I_\beta ^{\geq \lambda })_{\lambda \geq 0}$ désigne la filtration associée, $I_\beta ^{\geq \lambda } = I_\beta \cap \mathscr {P}^{\geq \lambda }(\bar {B})$ alors si $\lambda >0$

\[ I_\beta^{\geq \lambda}/I_\beta^{>\lambda} = ({\rm gr}^\lambda \mathfrak{g}_{\bar{B}} )^{{\rm Ad} (\beta)\varphi={\rm Id}} \]

qui est isomorphe à une somme finie de copies de $\bar {B}^{\varphi ^h=\pi _E^d}=H^0(X,\mathcal {O}_X(\lambda ))$ si $\lambda =d/h$ avec $(d,h)=1$. De plus,

\begin{align*} I_\beta/I_\beta^{>0}&= {\rm Aut} ( {\rm gr}^0 \mathfrak{g}_{\bar{B}}, {\rm Ad} (\beta)\varphi) \\ &\simeq J_b (E) \end{align*}

après le choix d'une $\varphi$-conjugaison entre ${\rm Ad} (\beta )$ et ${\rm Ad} (b)$.

5.4.3 Fin de la preuve du théorème 5.1 par descente galoisienne non-ramifiée

Voyons maintenant comment conclure la preuve du théorème 5.6 lorsque $G$ n'est pas forcément quasi-déployé. Soit donc $G$ un groupe réductif sur $E$. Puisque $H^1 (E^{nr},G_{ad})$ est trivial (Steinberg) $G$ est quasi-déployé sur une extension non-ramifiée de $E$. Soit donc $h\geq 1$ tel que $G_{E_h}$ soit quasi-déployé. Soit $\mathscr {T}$ un $G$-torseur sur $X_E$, $\beta \in G(\bar {B})$ et $b\in G(L)$ associés. On veut montrer que $\beta$ et $b$ sont $\varphi$-conjugués.

On utilise les notations du lemme 5.15. On sait d'après la section 5.3 précédente que $N_h(\beta )$ et $N_h (b)$ sont $\varphi ^h$-conjugués. L'action de ${\rm Gal} (E_h|E)$ sur $I_{N_h(\beta )}$ du lemme 5.15 est compatible à la filtration définie précédemment. De plus, pour $\lambda >0$

\begin{align*} H^1 \big ({\rm Gal} (E_h|E), I_{N_h(\beta),h}^{\geq \lambda}/I_{N_h(\beta),h}^{>\lambda}\big ) &= H^1 \big ({\rm Gal} (E_h|E), ({\rm gr}^\lambda \mathfrak{g}_{\bar{B}})^{({\rm Ad} (\beta)\varphi)^h={\rm Id}} \big ) \\ &= 0 \end{align*}

puisqu'on regarde la cohomologie d'un groupe fini à valeurs dans un $\mathbb {Q}$-espace vectoriel. On en déduit que l'application

\[ H^1 ({\rm Gal} (E_h|E), I_{N_h(\beta),h} ) \longrightarrow H^1 ({\rm Gal} (E_h|E), J_b ( E_h)) \]

est un isomorphisme. Le résultat s'en déduit par application du lemme 5.15 puisque

6.1 Classification sur $\bar {E}$

Soit $G$ un groupe réductif sur $E$. Il y a une application

\begin{align*} B(G) & \longrightarrow \big [ {\rm Hom}(\mathbb{D}_{E^{nr}}, G_{E^{nr}})/G(E^{nr})\text{-conj.}\big ]^{\sigma={\rm Id}} \\ {[} b] & \longmapsto {[}\nu_b] \end{align*}

si $b$ est décent, auquel cas $\nu _b$ est défini sur $E^{nr}$. Rappelons maintenant que la catégorie Tannakienne des isocristaux $\varphi \text {-Mod}_L$ est $E$-linéaire neutre sur $E^{nr}$. Il y a en effet un foncteur fibre

\begin{align*} \varphi\text{-Mod}_L & \longrightarrow {\rm Vect}_{E^{nr}} \\ (D,\varphi) & \longmapsto \bigoplus_{\lambda\in \mathbb{Q}} \bigcup_{h\geq 1\atop h\lambda\in \mathbb{Z}} D^{\varphi^h =\pi_E^{h\lambda}}. \end{align*}

Ce foncteur fibre est $\mathbb {Q}$-gradué et le lien associé est le pro-tore des pentes $\mathbb {D}$. Il s'en suit que si $b\in G(L)$ est décent le $G$-isocristal associé est complètement déterminé après extension des scalaires à $E^{nr}$ par $\nu _b$.

Traduisons maintenant cela du coté de la courbe $X$. Pour $h\in \mathbb {N}_{\geq 1}$ on note $X_h=X_{E_h}$, $X=X_1$. Notons

\[ \mathscr{T}_h= \mathbb{V} (\mathcal{O}_{X_h} (1))\setminus \{0\} \]

le $\mathbb {G}_m$-torseur sur $X_h$ associé au fibré en droites $\mathcal {O}_{X_h}(1)$. Si $h|h'$ et $\pi _{h',h}:X_{h'}\rightarrow X_h$ il y a un isomorphisme canonique

\[ \pi_{h',h}^* \mathcal{O}_{X_h}(1)\xrightarrow{\;\sim\;} \mathcal{O}_{X_{h'}}(h'/h)=\mathcal{O}_{X_{h'}}(1)^{\otimes h'/h}. \]

Cela définit un morphisme

(6)\begin{align} \mathscr{T}_{h'} & \longrightarrow \pi_{h',h}^* \mathscr{T}_h \nonumber\\ s & \longmapsto s^{\otimes h'/h}. \end{align}

Définition 6.1 On pose

\[ \mathscr{T}_\infty = \underset{h\geq 1}{\underset{\longleftarrow}{\text{ lim }}\;} \mathscr{T}_h\otimes_{E_h} E^{nr} \]

où la limite projective est prise suivant les applications de transition (6). C'est un $\mathbb {D}$-torseur sur $X_{E^{nr}}$.

On obtient alors le résultat suivant.

Proposition 6.2 Si $b$ est décent il y a un isomorphisme de $G$-torseurs sur $X_{E^{nr}}$

\[ (-\nu_{b})_* \mathscr{T}_\infty \xrightarrow{\;\sim\;} \mathscr{E}_b\otimes_E E^{nr}. \]

En appliquant maintenant le théorème 5.1 on obtient le résultat suivant.

Théorème 6.5 Soit $E^{\prime}|E^{nr}$ une extension algébrique. Il y a une bijection

\begin{align*} {\rm Hom} ( \mathbb{D}_{E^{\prime}}, G_{E^{\prime}} )/G(E^{\prime})\text{-conj.} &\xrightarrow{\;\sim\;} \big \{G\text{-torseurs sur }X_{E^{\prime}}\big \}/\sim \\ {[} \nu] & \longmapsto \big [ \nu_*\mathscr{T}_\infty\big ]. \end{align*}

6.2 Plongement de la cohomologie galoisienne dans $B(G)$

Soit $[b]\in B(G)$ et $J_b$ le groupe algébrique associé tel que $J_b (E)$ soit $\sigma$-centralisateur de $b$. Pour $R$ une $E$-algèbre $J_b (R)$ est le groupe des automorphismes compatibles au produit tensoriel du foncteur

\begin{align*} {\rm Rep}\, G & \longrightarrow \varphi\text{-Mod}_{L\otimes_E R} \\ (V,\rho) & \longmapsto (V\otimes_E R ,\rho (b) \sigma). \end{align*}

D'après [Reference Rapoport and RichartzRR96] prop. 1.17 ou bien [Reference KottwitzKot97] 3.5 il y a une identification

(7)\begin{equation} H^1 (E,J_b) \xrightarrow{\;\sim\;} \{ [b']\in B(G)\,|\,[\nu_{b'}]=[\nu_b] \} \end{equation}

et en particulier

(8)\begin{equation} H^1 (E,G)\xrightarrow{\;\sim\;} \{ [b] \in B(G)\,|\, [\nu_b]=1 \} \end{equation}

qui identifie la cohomologie galoisienne de $G$ avec les ‘$G$-isocristaux unités’.

Ces plongements s'interprètent de la façon suivante en termes de $G$-torseurs sur $X$. Il y a un plongement de $X$-schémas en groupes réductifs

\[ J_b\times_E X \hookrightarrow \underline{{\rm Aut}} (\mathscr{E}_b). \]

Dès lors l'application (7) est donnée par

\begin{align*} \{J_b\text{-torseurs}\} & \longrightarrow \{ G\text{-torseurs sur }X\} \\ \mathscr{T} & \longmapsto \mathscr{E}_b\underset{J_b\times X}{\times} (\mathscr{T}\times X ). \end{align*}

En particulier l'inclusion (8) est donnée par l'image réciproque

\[ f^*:H^1_{\rm{\acute{e}t}} ({\rm Spec} (E),G) \longrightarrow H^1_{\rm{\acute{e}t}} (X,G) \]

où $f:X\rightarrow {\rm Spec} (E)$.

6.3 Morphisme des pentes et polygone de Harder-Narasimhan

On suppose maintenant $G$ quasi-déployé. On a déjà vu (prop. 5.12) que $b\in B(G)$ est basique si et seulement si $\mathscr {E}_b$ est semi-stable et donc

\[ B(G)_{\textrm{basique}}\xrightarrow{\;\sim\;} H^1_{\rm{\acute{e}t}} (X,G)_{\text{semi-stable}}. \]

Fixons $A\subset T\subset B$ où $A$ est un tore déployé maximal, $T$ un tore maximal et $B$ un sous-groupe de Borel. Puisque $G$ est quasi-déployé

\[ X_*(A)_\mathbb{Q}^+\xrightarrow{\;\sim\;} [ {\rm Hom}(\mathbb{D}_{E^{nr}}, G_{E^{nr}})/G(E^{nr})\text{-conj.}]^{\sigma={\rm Id}} \]

et on voit donc $[\nu _b]$ pour $[b]\in B(G)$ comme un élément de la chambre de Weyl positive. Rappelons également (sec. 5.1) qu’étant donné un $G$-torseur $\mathscr {T}$ sur $X$ on peut définir son polygone de Harder-Narasimhan généralisé $\nu _\mathscr {T}\in X_*(A)_\mathbb {Q}^+$. On vérifie alors aussitôt la proposition suivante (cf. remarque 6.3 pour le signe $-$).

Proposition 6.6 On a l’égalité suivante dans la chambre de Weyl positive

\[ \nu_{\mathscr{E}_b} = w_0.(-\nu_b) \]

où $w_0$ est l’élément de plus grande longueur dans le groupe de Weyl. En particulier le sous-groupe parabolique associé à la réduction canonique de $\mathscr {E}_b$ est le sous-groupe parabolique opposé associé à $\nu _b$.

Quitte à $\sigma$-conjuguer $b$ on peut supposer que $\nu _b:\mathbb {D}\rightarrow A$. Soit alors $M_b$ le centralisateur de $\nu _b$, un sous-groupe de Levi standard. Alors, $b\in M_b (L)$ et si on note $b'=b$ vu comme élément de $M_b (L)$

\[ \mathscr{E}_b= \mathscr{E}_{b'}\underset{M_b}{\times} G \]

qui est la réduction canonique de $\mathscr {E}$ (on a déjà vu que $\mathscr {E}$ possède une réduction au Levi, cf. prop. 5.16).