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SÉRIES HYPERGÉOMÉTRIQUES BASIQUES, $q$-ANALOGUES DES VALEURS DE LA FONCTION ZÊTA ET SÉRIES D’EISENSTEIN

Published online by Cambridge University Press:  28 April 2005

C. Krattenthaler
Affiliation:
Institut Camille Jordan, Université Claude Bernard Lyon-I, 21, avenue Claude Bernard, F-69622 Villeurbanne Cedex, France (kratt@igd.univ-lyon1.fr)
T. Rivoal
Affiliation:
Laboratoire de Mathématiques Nicolas Oresme, CNRS UMR 6139, Université de Caen, BP 5186, 14032 Caen Cedex, France (rivoal@math.unicaen.fr) Institut Fourier, CNRS UMR 5582, Université Grenoble 1, 100 rue des Maths, BP 74, F-38402 Saint-Martin d’Hères cedex, France
W. Zudilin
Affiliation:
Laboratoire de Mathématiques Nicolas Oresme, CNRS UMR 6139, Université de Caen, BP 5186, 14032 Caen Cedex, France (rivoal@math.unicaen.fr)
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Abstract

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Nous étudions la nature arithmétique de $q$-analogues des valeurs $\zeta(s)$ de la fonction zêta de Riemann, notamment des valeurs des fonctions $\zeta_q(s)=\sum_{k=1}^{\infty}q^k\sum_{d\mid k}d^{s-1}$, $s=1,2,\dots$, où $q$ est un nombre complexe, $|q|<1$ (ces fonctions sont intimement liées au monde automorphe). Le théorème principal de cet article montre que, si $1/q$ est un nombre entier différent de $\pm1$ et si $M$ est un nombre impair suffisamment grand, alors la dimension de l’espace vectoriel engendré sur $\mathbb{Q}$ par $1,\zeta_q(3),\zeta_q(5),\dots,\zeta_q(M)$ est au moins $c_1\sqrt{M}$, avec $c_1=0,3358$. Ce résultat peut être considéré comme un $q$-analogue du résultat de Rivoal et de Ball et Rivoal, qui affirme que la dimension de l’espace vectoriel engendré sur $\mathbb{Q}$ par $1,\zeta(3),\zeta(5),\dots,\zeta(M)$ est au moins $c_2\log M$, avec $c_2=0,5906$. Pour les mêmes valeurs de $q$, une minoration similaire pour les valeurs $\zeta_q(s)$ aux entiers $s$ pairs nous permet de redémontrer un cas particulier d’un résultat de Bertrand qui affirme la transcendance sur $\mathbb{Q}$ de l’une des deux séries d’Eisenstein $E_4(q)$ et $E_6(q)$ pour tout nombre complexe $q$ tel que $0<|q|<1$.

Type
Research Article
Copyright
2005 Cambridge University Press